3.8. Непрерывность функции. Точки разрыва
Понятие непрерывности функции, так же как и понятие предела, является одним из основных понятий математического анализа.
Определение
7. Функция
называется непрерывной в точке х0,
если она удовлетворяет следующим трем
условиям: 1) определена в точке х0
(т.е. существует
);
2) имеет конечный предел функции при
;
3) этот предел равен значению функции в
точке х0, т.е.
.
Пример. Исследовать непрерывность в точке х=0 следующих функций:
.
В точке х=0
эта функция не является непрерывной,
так как нарушено первое условие
непрерывности – существование
.
В
точке х=0
функция не является непрерывной,
несмотря на то, что выполнено первое
условие (
).
Нарушено второе условие – отсутствует
(точнее говоря, существуют односторонние
пределы слева и справа, не равные друг
другу, но общего предела не существует).
Первые
два условия непрерывности выполнены,
но нарушено третье основное условие:
.
Все три условия
непрерывности выполнены. Эта функция
непрерывна в точке х=0.
Определение непрерывности функции в точке может быть записано и так:
,
т.е. для непрерывной функции возможна перестановка символов предела и функции.
Если функция непрерывна в каждой точке интервала (а; в), то она называется непрерывной на этом интервале.
Точка
называется точкой разрыва функции,
если эта функция в данной точке не
является непрерывной. Различают точки
разрыва: первого рода (когда существуют
конечные односторонние пределы слева
и справа, не равные друг другу) и второго
рода (когда хотя бы один из односторонних
пределов слева и справа равен бесконечности
или не существует).Так, в рассмотренном
выше примере в п.2 точка
=0
является разрывом первого рода, а в п.1.
– разрывом второго рода. К точкам разрыва
первого рода относятся так же точки
устранимого разрыва, когда предел
функции при
существует, но не равен значению функции
в этой точке. Так, точка
=0
в п.3. примера является точкой устранимого
разрыва.
3.9. Решение задач
Задача 31.
Исследуйте непрерывность следующих функций:
а)
в точках х=1 и х=-1.
б)
в точках х=0, х=-1, х=1.
в)
в точках х=-2, х=0, х=1.
г)
в точках х=-2, х=0, х=5.
д)
в точках х=-1, х=0, х=3.
е)
в точках х=-2, х=0, х=2.
Задача 32.
Доказать
непрерывность функции
в
точке х=0 или установить характер разрыва:
а)
;
б)
в)
;
г)
.
Задача 33.
Какие из данных функций являются непрерывными в точке х=1? В случае нарушения непрерывности установить характер точки разрыва.
а)
;
б)
в)
;
г)
.
Глава 4. Дифференциальное исчисление.
4.1. Понятие производной.
Пусть
на интервале (a,b)
задана функция f(x).
Возьмем произвольно точку
Тогда для любой точки
разность
называется приращением аргумента
х в точке
и обозначается
,
откуда
.
Разность
называется приращением функции f(x)
в точке
и обозначается
.
Т.е.
,
или
.
Определение.
Производной функции у=f(x)
в точке
называется предел отношения приращения
функции
к приращению аргумента х
при условии, что х0,
а указанный предел существует. Символически
производная обозначается
.
Конкретным значениям соответствуют определенные значения производной, если она существует приданных х. Следовательно производная является функцией аргумента х и обозначается любым из равноправных символов:
(«игрек
штрих»),
(«эф
штрих от икс»),
(«дэ
игрек по дэ икс»).
Итак,
.
Операция нахождения производной называется дифференцированием функции.
Правило. Для нахождения производной функции y=f(x) по аргументу х на основе определения нужно найти:
наращенное значение функции у+у;
приращение функции у;
отношение приращения функции к приращению аргумента
;
предел
этого отношения при х0
.
Пример 1.
Вычислением
найти производную функции
.
Решение.
Воспользуемся правилом нахождения производной.
;
;
;
.