Теплопроводность

Теплопроводность обусловлена различием температуры между отдельными частями тела, поэтому можно считать, что распространение тепла неразрывно связано с распределением температуры*. Температура, как отме­чалось, является параметром состояния тела и характе­ризует степень его нагретости. При этом температура отдельных частей тела может быть различна, но она меняется непрерывно от точки к точке. Основная задача учения о теплопроводности - определение изменения тем­пературы в пространстве и во времени. Совокупность значений температуры в данный момент времени во всех точках рассматриваемого пространства называется температурным полем. Температурное поле, изменяющееся с течением времени, называют неуста­новившимся, или н е с т а ц и о н а р н ы м; если же температурное поле не меняется, его называют установившимся или стационарным.

Для характеристики процесса распространения тепла вводят понятие о тепловом потоке. Тепловой по­ток — это количество тепла, проходящее в единицу времени через данную поверхность в направлении нор­мали к ней. Тепловой поток измеряют в Дж/с (Вт) или 'в 'ккал/ч. Если же количество переданного тепла Q отнести к единице поверхности F и единице времени τ, получим величину

q = Q/F_τ, ( 1 )

которая называется плотностью теплового п о т о к а, и л и удельным тепловым пото­ком и измеряется в Вт/м² или в ккал/м^а∙ч. (1 ккал/м²∙ч = 1,163 Вт/м².)

Основным законом теплопроводности является закон Фурье (1822 г.), устанавливающий прямую пропорциональную зависимость между удельным тепловым потоком и температурным градиентом:

, (1.5)

где l- коэффициент пропорциональности, который называется коэффициентом теплопроводности, Вт/(м×°С).

Удельный тепловой поток q является векторной величиной (см. рис. 1.1), направление которого противоположно направлению температурного градиента, на что указывает знак ²-² в уравнении Фурье. Из уравнения можно определить, что коэффициент теплопроводности численно равен удельному тепловому потоку при температурном градиенте, равном единице, т.е. при уменьшении температуры на 1 °С на единицу длины.К оэффициенты теплопроводности различных веществ сильно отличаются друг от друга и существенно зависят от структуры, плотности, наличия примесей, влажности, давления температуры и других факторов. В практических расчетах значение коэффициента теплопроводности определяют по справочным данным. При этом следует убедиться, что физические характеристики вещества соответствуют табличным значениям.

В соответствии с экспериментальными данными зависимость коэффициента теплопроводности от температуры для большинства материалов линейная, т.е.

, (12.6)

где l₀- значение коэффициента теплопроводности при 0°С; b- постоянная, определяемая опытным путем.

Так как температура, обусловливающая процесс теплопроводности, вв отдельных частях тела различна, то значение коэффициента теплопроводности определяется при среднеарифметическом из граничных значений температур и принимается постоянным.

Основываясь на законе Фурье, рассмотрим процесс теплопроводности через плоскую однослойную стенку толщиной d при стационарном режиме (рис. 1.2). Коэффициент теплопроводности материала стенки постоянен и равен l. Температуры на поверхностях стенки t₁ и t₂, причем t₁ > t₂. Температура изменяется только в направлении оси х, перпендикулярной поверхности стенки. Следовательно, температурное поле является одномерным, а плоскости, параллельные поверхности стенки, представляют собой изотермические поверхности.

Для слоя толщиной dx на основании закона Фурье

(1.7) откуда .

Проинтегрировав последнее уравнение, получим

. (1.8)

Следовательно, температура по толщине стенки изменяется по линейному закону. Постоянную интегрирования С определим из граничного условия: при х=0 t=t₁, отсюда С=t₁.

При х=d t=t₂ и уравнение (1.8) принимает вид

,

откуда удельный тепловой поток

. (1.9)

Из уравнения (1.9) видно, что удельный тепловой поток прямо пропорционален коэффициенту теплопроводности l и перепаду температур Dt=t₁-t₂ и обратно пропорционален толщине стенки d.

Уравнение (1.9) можно представить в виде

, (1.10)

где R- термическое сопротивление стенки (R=d/l), (м²×°С)/Вт.

Определив удельный тепловой поток q, можно вычислить общее количество теплоты Q, Вт, передаваемое в единицу времени через стенку площадью F,м²,по формуле

. (1.11)

Температуру в произвольном сечении х стенки можно определить по формуле

, (1.12)

которая является приближенной, так как коэффициент теплопроводности l зависит от температуры и температура по толщине стенки в действительности изменяется по криволинейному закону.

Рассмотрим теперь теплопроводность через плоскую многослойную стенку, состоящую, например, из трех различных, но плотно прилегающих друг к другу слоев (рис. 1.3),каждый из которых имеет свою определенную толщину d и коэффициент теплопроводности материала l. Такие конструкции характерны для стен зданий, обмуровок котлов и других тепловых устройств.

П ри стационарном режиме удельный тепловой поток, проходящий через стенку, один и тот же для каждого из слоев. Поэтому, в соответствии с формулой (12.9), для каждого из слоев справедливы следующие уравнения:

; ;

Рис. 1.3. Теплопроводность

через многослойную плоскую стенку

или

; ; (1.13).

Просуммировав, правые и левые части уравнений (1.13), получим

, (1.14) откуда , (1.15)

где Dt - разность температур на наружных поверхностях стенки;

R – общее термическое сопротивление стенки, равное сумме термических сопротивлений отдельных слоев.

Температуры на границах каждого из слоев можно рассчитать, подставив значение удельного теплового потока из формулы (1.15) в уравнения (1.13):

; ; (1.16)

Температурное поле многослойной стенки показано на рис. 1.3. Исходя из формулы (1.15)можно написать выражение для определения удельного теплового потока через п- слойную стенку: , (1.17)

где - сумма термических сопротивлений всех слоев стенки.

При определении теплового потока через однослойную или многослойную цилиндрическую стенку, если ее толщина незначительна по сравнению с диаметром или отношение наружного и внутреннего диаметров близко к единице, можно пользоваться формулами для плоской стенки. При этом площадь F поверхности, через которую проходит тепловой поток, следует определять по среднему диаметру , т.е. , где l- высота цилиндра или длина трубы.