7.4.Транспортная модель

Транспортная модель (транспортная задача) используют при рассмотрении различных практических ситуаций в логистическом управлении, связанных: с составлением наиболее экономичного плана перевозок продукции, управление запасами, назначением служащих на рабочее места, оборотом наличного капитала и многими другими. Кроме того, модель можно изменить, чтобы она учитывала перевозку нескольких видов продукции. В то же время транспортная модель и ее обобщение представляют собой частные случаи сетевых моделей.

Транспортная задача по существу представляет собой задачу линейного программирования, которую можно решать симплекс – методом. Однако специфическая структура условий задачи позволяет использовать более эффективные вычислительные алгоритмы.

Сущность транспортной задачи линейного программирова­ния состоит в наивыгоднейшем прикреплении поставщиков однородного продукта ко многим потребителям этого продук­та. На практике постоянно возникает необходимость решения таких задач, особенно когда количество пунктов отправления и получения грузов увеличивается.

Условие транспортной задачи обычно записывается в виде матрицы, в которой потребители однородного груза размеща­ются по столбцам, а поставщики - по строкам. В последнем столбце матрицы проставляют запас груза, имеющийся у каж­дого поставщика, а в последней строке - потребность в нем потребителей. На пересечении строк со столбцами (в клетках матрицы) записывают размер поставки, а также расстояние пробега по всем возможным маршрутам время доставки гру­за или затраты на перевозку единицы груза по этим маршру­там.

Постановка задачи и ее математическая модель. Некоторый однородный продукт, сосредоточенный у т поставщиков в количестве ( ), необходимо доставить п потребителям в количестве ( ). Известно стоимость перевозки единицы груза от го поставщика му потребителю. Необходимо составить план перевозок, имеющий минимальную стоимость. Основное предположение, используемое при построении модели, состоит в том, что величина транспортных расходов на каждом маршруте прямо пропорциональна объему перевозимой продукции. Модель транспортной задачи представлена на рис 7.1.

Рис. 7.1. Транспортная модель

На рис. 7. 1. изображена транспортная модель в виде сети с т поставщиками некоторого однородного груза и п потребителями этого груза. При этом поставщикам груза и потребителям соответствуют вершины сети. Дуга, соединяющая поставщик груза с потребителем, представляет условный маршрут, по которому перевозится продукция. Количество продукции, производимой поставщиком , обозначено через , а количество продукции, потребляемой потребителем через ; стоимость перевозки единицы продукции из в .

Запишем математическую модель задачи:

1. Объем поставок го поставщика должен равняться ко­личеству имеющегося у него груза:

, (88)

2) Объем поставок му потребителю должен быть равен его спросу:

, (89)

3) Запас груза у поставщиков должен равняться суммарно­му спросу потребителей:

, (90)

4) Размер поставок должен выражаться неотрицательным числом:

;(7.4).

5) общая сумма затрат на перевозку груза должна быть минимальной:

(91)

Поставленная в задаче цель может быть достигнута раз­личными методами, например, методом северо-западного угла или методом потенциалов.

Модель транспортной задачи линейного программирования так же может использоваться для планирования ряда операций, не связанных с перевозкой грузов. Так, с ее помощью решаются задачи по оптимизации размещения производства, топливно-энергетического баланса, планов загрузки оборудования распределения сельскохозяйственных культур по участкам раз­личного плодородия и т. п.

Поставленная транспортная задача линейного программирования называется сбалансированной транспортной моделью, так как объем запасов равняется объему заказов. В реальных ситуациях не всегда объем производства равен спросу, однако транспортную модель всегда можно сбалансировать.

В случае превышения запас продукции над потребностью, т. е. если , вводится фиктивный (n+1) – й потребитель с потребностью

(91)

а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Аналогично, при , вводится фиктивный (m+1) – й поставщик с запасом груза а соответствующие стоимости перевозок считаются равными нулю. Этими действиями задача сводится к сбалансированной транспортной задаче, из оптимального плана которой, получается оптимальный план исходной задачи.

Модель транспортной задачи представляет собой задачу линейного прогпаммирования и, етественно, ее можно решать с использованием метода последовательного улучшения плана или методом использованием метода последовательного улучшения оценок (симплексным методом). Но в этом случае основная трудность связана с числом переменных задачи . Поэтому специальные алгоритмы, например, такие как метод потенциалов и венгерский метод, оказываются более эффективными.

Алгоритм метода потенциалов, (его называют еще модифицированным распределительным алгоритмом) начинает работу с некоторого опорного плана транспортной задачи (допустимого плана перевозок). Для построения опорного плана обычно используется один из двух методов: метод северо-западного угла или метод минимального элемента. На конкретной задаче рассмотрим метод северо-западного угла. Он позволяет найти некоторый допустимый план перевозок.

Задача. На трех складах ( ) имеется соответственно 140, 180 и 160 единиц однородного груза. Этот груз требуется перевести к пяти потребителям ( ) соответственно в количествах 60, 70, 120, 130, 100 единиц. Стоимость перевозки от складов к потребителям приведена в табл. 7.2. (в правом верхнем углу каждой клетки). Например, сто­имость перевозки единицы груза со склада потребителю равна 2 у. е.

Таблица 7.2

Исходные данные для решения транспортной задачи

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		140
	8	4	1	4	1		180
	9	7	3	7	2		160
Потребности	60	70	120	130	100		480

Найти допустимый план перевозок.

Для решения задачи на первом этапе составляется система огра­ничений и целевая функция. Система ограничений в общем виде (для задачи) имеет вид:

причем для

Целевая функция затрат на перевозку, значение которой необхо­димо минимизировать при имеющихся ограничениях, выглядит сле­дующим образом:

= 2 + 3 +4. + 2 + 4 + 2 _{, (92)}

Далее перераспределяются объемы поставок грузов методом «северо-западного угла», т.е. первой заполняется верхняя левая (севе­ро-западная) клетка исходной таблицы. Примем объем перевозки со склада к потребителю максимально возможным из условий задачи и равным 60 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл.7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В таблице 7.3. найдем «северо-западный угол» (теперь это клетка )и укажем максимально возможное значение. Оно рассчитывает­ся следующим образом: со склада уже перевезено 60 ед. груза, поэто­му остаток на этом складе составляет 80 ед. (140—60). Вносим в клетку вместо значение, равное 70 ед. Потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3. можно исключить из даль­нейшего рассмотрения. Остаток продукции на складе 10 ед. (140 – 60 – 70) припишем потребителю .Таким образом, весь груз со скла­да перевезен потребителям и первая строка табл. 7.3 исключается из дальнейшего рассмотрения.

В нашей табл.7.3 найдем новый «северо-западный угол» ( клетка )и укажем в нем максимально воз­можное значение это 110 ед. (120 – 10). Остаток продукции на складе 70 ед. (180 – 110) припишем потребителю . Тем самим потребитель полностью удовлетворил свою потребность, и поэтому графу « » в табл. 7.3 можно исключить из даль­нейшего рассмотрения.

В оставшейся части табл. № найдем новый «северо-западный угол» (клетка ) и укажем в нем максимально воз­можное значение это 60 ед. (130 – 70). Остаток продукции на складе в количестве 100 ед. припишем потребителю .

Результаты проведенных операций сведены в табл. 7.3.

Таблица 7.3

Распределение поставок

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2 60	3 70	4 10	2	4		140
	8	4	1 110	4 70	1		180
	9	7	3	7 60	2 100		160
Потребности	60	70	120	130	100		480

В результате получили опорный план (семь занятых клеток).

.

В результате дальнейших вычислений мы получим оптимальное минимальное значение целевой функции. Расчеты громоздки, но лег­ко реализуются с использованием компьютерных программ.

Контрольные задания для самостоятельного решения

Задача. На трех складах ( ) имеется определенное количество единиц однородного груза. Этот груз требуется перевести к пяти потребителям ( ). Количество единиц груза, потребность потребителей и стоимость перевозки от складов к потребителям по вариантам приведены ниже в таблицах. Необходимо сделать первое распределение методом «северо-западного угла», найдите первое (возможно, неоптимальное) решение.

Вариант 1

Поставщики	Потребители						Запасы продукции
	2	3	4	2	4	180
	8	4	1	4	1	185
	9	7	3	7	2	170
Потребности	65	70	130	180	90	535

Вариант 2

Поставщики	Потребители						Запасы продукции
	2	5	4	2	4	280
	8	6	2	4	1	180
	9	7	3	6	2	260
Потребности	20	90	220	230	160	720

Вариант 3

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	6	2	4		340
	4	5	2	4	1		180
	6	2	3	7	2		165
Потребности	60	75	220	235	95		685

Вариант 4

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	3	2	4		440
	10	4	1	4	6		380
	9	7	3	5	2		660
Потребности	260	270	320	335	295		1480

Вариант 5

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		140
	8	4	1	4	1		180
	9	7	3	7	2		160
Потребности	60	70	120	130	100		480

Вариант 6

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	5	4		1140
	7	4	3	6	2,5		1180
	9	7	3	2	2		1160
Потребности	350	390	520	1130	1090		3480

Вариант 7

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		295
	8	4	1	4	1		285
	9	7	3	7	2		365
Потребности	300	320	210	210	10		1050

Вариант 8

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		140
	8	4	8	4	7		180
	9	10	3	7	2		160
Потребности	60	70	120	130	100		480

Вариант 9

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	12	8	4	6	7		220
	8	4	6,5	5,8	10		360
	9	7	7,5	7	9		280
Потребности	160	140	220	180	160		820

Вариант 10

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		640
	8	4	1	4	1		880
	9	7	3	7	2		660
Потребности	545	545	490	590	10		2180

Вариант 11

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	3,5	4		1620
	8	4	2,8	4	1		980
	6,6	7	3	7	2		1160
Потребности	600	700	1120	770	570		3760

Вариант 12

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		365
	8	4	3	4	1		465
	9	7	3	7	2,8		830
Потребности	300	400	720	100	140		1660

Вариант 13

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2,5	3	4	2,2	4		655
	8	4	1,8	4	1,9		830
	9	7	3,3	7	2,6		1250
Потребности	547	547	547	547	547		2735

Вариант 14

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2,3	3,9	4	2	4		325
	8	4	6,6	4	3,5		485
	9	7	3	5,5	2		690
Потребности	300	450	120	330	300		1500

Вариант 15

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		1125
	8	4	1	4	1		1230
	9	7	3	7	2		850
Потребности	640	850	355	385	975		3205

Вариант 16

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	4	3	4,5	2,9	4		330
	8	4	3,5	4	2,2		1250
	9	7	3	7	2		325
Потребности	460	495	420	430	100		1905

Вариант 18

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		1125
	8	4	1	4	1		2340
	9	7	3	7	2		3170
Потребности	1215	900	1500	1560	1460		6635

Вариант 19

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		775
	8	4	3,2	4	3,8		365
	9	7	3	6,3	2		850
Потребности	460	260	420	430	420		1990

Вариант 20

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		655
	8	4	1	4	1		895
	9	7	3	7	2		1200
Потребности	620	850	780	390	1110		3750

Вариант 21

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		95
	8	4	3,8	4	1,2		125
	9	7	3	7	2		245
Потребности	65	75	120	85	120		465

Вариант 22

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2,6	3	4	2	4		1120
	8	4	1,8	4	3,3		990
	5,5	7	3	7	2		2510
Потребности	611	960	820	770	1459		4620

Вариант 23

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		225
	8	4	1	4	1		750
	9	7	3	7	2		660
Потребности	520	260	310	180	365		1635

Вариант 24

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		990
	8	4	3,3	4	4,5		550
	9	7	3	7	2		880
Потребности	800	700	250	120	550		2420

Вариант 25

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		75
	8	4	1	4	1		99
	9	7	3	7	2		31
Потребности	20	70	15	25	75		205

Вариант 26

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		335
	8	4	1	4	1		685
	9	7	3	7	2		450
Потребности	595	190	205	180	300		1470

Вариант 27

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		1220
	8	4	2,3	4	3,6		1330
	9	7	3	7	2		3250
Потребности	1100	1210	990	1300	1200		5800

Вариант 28

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		770
	8	4	1	4	1		990
	9	7	3	7	2		665
Потребности	480	580	365	585	415		2425

Вариант 29

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2	3	4	2	4		45
	8	4	1	4	1		105
	9	7	3	7	2		255
Потребности	95	72	68	90	80		405

Вариант 30

Поставщики	Потребители					Запасы продукции
	2,5	3	4	2	4		550
	8	4	1,8	4	2,6		850
	9	7	3	7	2		700
Потребности	640	280	505	315	360		2100