6.8. Вероятностный метод определения страхового запаса

Управление запасами является ключевой активностью, составляющей наиболее важную сферу логистического менеджмента фирмы, как с точки зрения трудоемкости, так и связанных с нею затрат. Для эффективного функционирования логистической системы необходимо создавать страховой запас, предназначенный для элиминирования логистических и финансовых рисков, связанных с непредвиденными колебаниями спроса на готовую продукцию, невыполнением договорных обязательств по поставкам материальных ресурсов, сбоями в производственно-технологических циклах и другими непредвиденными обстоятельствами. Так как в любых запасах замораживаются большие финансовые средства, поэтому определение оптимального уровня страхового запаса является актуальной задачей в логистике.

На логистические системы управления материальными запасами оказывают влияние множество факторов, приводящие к колебаниям параметров системы, которые, таким образом, становятся случайными величинами. Случайной величиной может быть потребление и поступление материальных ресурсов или время выполнения заказа. Поскольку определяющим фактором в моделях управления запасами является спрос, то проведем анализ случайных величин на примере этого фактора.

Пусть спрос на продукцию предприятия или расход материальных ресурсов – случайная величина с математическим ожиданием и конечной дисперсией .

Чтобы избежать дефицита в системе при случайных колебаниях спроса, предприятию необходимо иметь некоторый страховой запас . Для бездефицитной работы логистической системы вероятность того, что спрос за время цикла между поставками не превысит величины, равной сумме оптимального размера заказа и страхового запаса , должна быть достаточно велика. Эту вероятность называют коэффициентом надежности и обозначают через . Обычно требуются, чтобы коэффициент надежности был равен 0,9; 0,95 или 0,99. Иногда удобнее использовать коэффициент риска . То есть, если спрос между двумя последовательными моментами размещения заказа, то размер страхового запаса определяется таким образом, чтобы вероятность истощения запасав в течение цикла не превышала заданной величине

Предположим, что – плотность распределения вероятностей спроса в течение этого срока, а вероятность истощения запаса в течение цикла не должна превышать. Тогда размер страхового запаса определяется из условия следующей формулы:

, (70)

Если распределение спроса подчинена нормальному закону, то функция плотности распределения имеет вид:

, (71)

Введем обозначения:

( 72)

где - среднеквадратическое отклонение случайной величины спроса, рассчитываемое по формуле:

, (73)

где - частота, с которой наблюдается величина спроса

- средняя величина спроса за исследуемый период то есть:

, (74)

С учетом этих обозначений функция и плотность вероятности примут вид соответственно:

, (75)

. (76)

Задача нахождения оптимально страхового запаса при нормальном распределении вероятностей величины спроса формулируется следующим образом: по заданному значению коэффициента риска найти значение величины , для которого выполняется равенство:

, (77)

Решение этого уравнения относительно по заданному коэффициенту риска находится из таблиц нормального распределения. Поскольку риск будет существовать, то . Учитывая, что , то страховой запас должен быть, по меньшей мере . Таким образом, страховой запас определяется по следующей формуле:

, (78)

где определяется по таблице функции Лапласа (приложение В).

При распределении спроса по закону Пуассона функция плотности вероятностей имеет вид:

, (79)

А величина страхового запаса находиться по формуле:

, (80)

где определятся по специальным таблицам теории вероятностей (приложение В).

Для экспоненциального (показательного) распределения с функцией плотности вероятности:

, (81)

А величина страхового запаса находиться по формуле:

, (82)

Порядок определения страхового запаса:

1) Выдвигается гипотеза о законе распределения случайной величины спроса.

2) Выдвинутую гипотезу нужно либо подтвердит, либо опровергнуть.

Для этого можно воспользоваться критерием Пирсона:

, (83)

где теоретические частоты;

эмпирические частоты.

Для нормального закона распределения:

, (84)

где длина шага между соседними значениями спроса; нормированная случайная величина спроса, рассчитываемая по формуле:

(85)

Для распределения Пуассона теоретические частоты вычисляют по формуле:

, (86)

Для экспоненциального распределения:

, (87)

По таблице критических точек распределения по заданному уровню значимости и числу степеней свободы определяется критическое значение критерия Пирсона . Количество степеней свободы для нормального распределения ( число интервалов), для пуассоновского и экспоненциального . Если , то выдвинутая гипотеза принимается, в противном случае – отвергается.

3) После выявления закона распределения остается найти величину страхового запаса, т. е. воспользоваться формулами (78) или (80) или (82).

_{Таким образом, осуществляется определение страхового запаса.}

Пример. На фирме для производство готовой продукции А используется сырье (полуфабрикат). Временное отсутствие, которого, приводит к срыву производства продукции, поэтому его дефицит не допустим. Сведения о ежедневной потребности данного сырья представлен в табл. 6.10.

Таблица 6.10

Исходные данные

№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление	№ периода	Ежедневное потребление
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46 47 48 49 50 51 52 53 54 55 56 57 58 59 60	195 193 195 190 183 200 199 206 222 208 210 209 209 207 190 201 192 207 198 194 193 195 206 198 201 213 193 200 211 209 171 178 202 194 188 201 208 203 200 192 196 193 199 210 202 205 207 200 203 202 204 195 193 230 197 187 208 196 188 190	61 62 63 64 65 66 67 68 69 70 71 72 73 74 75 76 77 78 79 80 81 82 83 84 85 86 87 88 89 90 91 92 93 94 95 96 97 98 99 100 101 102 103 104 105 106 107 108 109 110 111 112 113 114 115 116 117 118 119 120	200 200 203 205 202 193 184 214 210 188 201 217 197 180 186 187 195 201 194 197 205 202 204 188 189 189 196 187 172 213 208 201 190 191 191 203 196 213 186 204 204 218 194 206 215 182 213 190 204 189 188 204 181 199 204 215 188 196 205 202	121 122 123 124 125 126 127 128 129 130 131 132 133 134 135 136 137 138 139 140 141 142 143 144 145 146 147 148 149 150 151 152 153 154 155 156 157 158 159 160 161 162 163 164 165 166 167 168 169 170 171 172 173 174 175 176 177 178 179 180	201 205 208 209 209 203 193 205 198 191 221 188 183 204 186 196 209 194 191 191 211 190 187 206 193 205 207 205 201 199 203 202 198 195 203 201 191 208 207 210 208 206 198 199 207 208 204 198 198 201 209 219 201 206 206 219 215 177 207 196	181 182 183 184 185 186 187 188 189 190 191 192 193 194 195 196 197 98 199 200 201 202 203 204 205 206 207 208 209 210 211 212 213 214 215 216 217 218 219 220 221 222 223 224 225 226 227 228 229 230 231 232 233 234 235 236 237 238 239 240	195 201 193 203 191 219 172 208 221 211 212 190 184 205 215 212 192 205 205 192 194 194 196 195 202 196 197 213 202 221 184 201 204 216 206 183 186 224 207 200 192 190 183 189 211 209 208 189 196 216 200 197 195 204 205 199 201 204 192 199	241 242 243 244 245 246 247 248 249 250 251 252 253 254 255 256 257 258 259 260 261 262 263 264 265 266 267 268 269 270 271 272 273 274 275 276 277 278 279 280 281 282 283 284 285 286 287 288 289 290 291 292 293 294 295 296 297 298 299 300	185 202 217 191 208 199 189 207 203 191 181 190 187 196 190 194 209 208 197 182 207 173 198 186 192 194 198 203 211 194 194 189 195 197 198 190 197 196 188 199 197 185 203 204 174 188 191 208 211 192 197 199 202 200 195 198 191 203 192 195

Необходимо определить величину страхового запаса, гарантирующего бесперебойное функционирование фирмы с вероятностью =0,95.

Решение. На первом этапе необходимо преобразовать исходную выборку в статистически группированный интервальный ряд. Для этого необходимо выделить десять интервалов. Преобразование исходной выборки в статистически интервальный ряд выполняется в следующем порядке:

1) Определим размах выборки , где максимальное и минимальное значение ежесуточной потребности в материальном ресурсе. Тогда

2) Вычислим величину интервала:

3) Рассчитаем границы интервалов. При этом нижняя граница первого интервала будет равняться минимальному значению группировочного признака ( ) . Для того чтобы найти верхнюю границу этого интервала необходимо нижней границе прибавить величину интервала ( ). Это будет нижней границей второго интервала. Далее прибавив величину интервала, получим верхнюю границу и т. д.

Далее определяются эмпирические частоты ( ), как количество группировочного признака в каждом интервале. Для определения среднесуточного расхода материального ресурса и среднеквадратического отклонения расхода вычислим середину интервала, как полусумма границ каждого интервала. Результаты этих и других операции сведены в таблицу 6.11.

Таблица 6.11

Интервальный статистически ряд

№ интервала	Интервал интенсивности потребления	Эмпирические частоты	Середина интервала
1	171,0 – 176,9	5	173,95	869,75	3218,184
2	176,9 – 182,8	6	179,85	1079,10	2274,485
3	182,8 – 188,7	28	185,75	5201,00	5156,057
4	188,7 – 194,6	59	191,65	11307,35	3470,905
5	194,6 – 200,5	63	197,55	12445,65	618,904
6	200,5 – 206,4	70	203,45	14241,50	1193,983
7	206,4 – 212,3	44	209,35	9211,40	4426,440
8	212,3 – 218,2	16	215,25	3444,00	4060,238
9	218,2 – 224,1	8	221,15	1769,20	3812,391
10	224,1 – 230,0	1	227,05	227,05	768,953
	-	300	-	59796,00	29000,540

На основании этой таблицы по формулам (74) и (73) определим среднесуточный расход материального ресурса и среднеквадратическое отклонение расхода от среднего. Они соответственно равны: ; .Далее выдвигается гипотеза о нормальном законе распределения расхода данного материального ресурса. Выдвинутую гипотезу необходимо подтвердит или опровергнут. Для этого воспользуемся критерием Пирсона (83). Вычисление элементов критерия Пирсона сведем в таблицу 6.12.

Таблица 6.12

Вычисление элементов критерия Пирсона

Номер интервала	Середина интервала	Частота
1	173,95	5	-2,58	0,0143	2,51	2,47
2	179,85	6	-1,98	0,0562	10,12	1,68
3	185,75	28	-1,38	0,1539	27,71	0,00
4	191,65	59	-0,78	0,2943	52,99	0,68
5	197,55	63	-0,18	0,3925	70,67	0,83
6	203,45	70	0,42	0,3653	65,78	0,27
7	209,35	44	1,02	0,2371	42,69	0,04
8	215,25	16	1,62	0,1074	19,34	0,58
9	221,15	8	2,22	0,0339	6,10	0,59
10	227,05	1	2,82	0,0075	1,35	0,09
		300	-			7,23

Примечание. Значение функции плотности вероятностей определяется по таблице (приложение А).

Сравним эмпирические и теоретические частоты. Наблюдаемые значения критерия Пирсона =7,23. Из таблицы критических точек распределения (приложение Б) найдем . Так как < , то предложение о нормальном законе распределения спроса подтвердилось. Страховой запас . Величину находим из таблицы приложение В. Для , =1,96. Итак, . Таким образом, определяется страховой запас для функциональных подсистем логистической системы.