5.4 Функцияның дифференциалы
Айталық,
функциясының шектелген туындысы бар
болсын, онда
,
демек
,
,
- шексіз аз шама.
Онда функцияның өсімшесі:
.
Осы теңдікте екінші қосылғыш жоғары
ретті шексіз аз шама болғандықтан,
бірінші қосылғыш функция өсімшесіне
эквивалентті болады.
Анықтама. Функцияның туындысы мен
аргумент өсімшесінің көбейтіндісі
дифференциал деп аталады және мына
түрде жазады:
.
Онда жоғарыда берілген теңдіктің бірінші
қосылғышы дифференциал болады. Дербес
жағдайда, егер
болса, онда
,
яғни
және осыны пайдаланып дифференциалдың
формуласын келесі түрде жазуға болады:
.
Осыдан
,
яғни туынды функция дифференциалының
аргумент дифференциалына бөлінген
мәніне тең.
Дифференциалдың қасиеттері:
Негізігі элементар функциялардың туындыларын біле тұрып, біз еш қиындықсыз осы функциялардың дифференциалдарының кестесін құрастыра аламыз.
Айталық,
,
,
т.с.с.
Арифметикалық амалдар нәтижелерінің дифференциалдары:
;
;
.
Күрделі функцияның дифференциалы:
Айталық,
және
- үзіліссіз функциялар және олардың
туынддылары:
,
.
Егер
белгілесек, онда
.
Екі жағын
-ке
көбейтеміз:
,
ал
,
олай болса,
.
Функцияның дифференциалдануы.
Анықтама. функциясы нүктесінде дифференциалданады, егер оның осы нүктеде дифференциалы болса.
Егер функциясы дифференциалданатын болса, онда ол міндетті түрде үзіліссіз болады.
Дифференциалды жуықтап есептеулерге пайдалану.
.
Соңғы жуықталған теңдік ең алдымен
тәжірибелік тұрғыдан қарағанда келесі
есепті шешу үшін қолданады:
мәндері белгілі;
-тің
жуық мәнін есептеу керек. Сонда төменгі
формула анықталады:
.
Мысалы:
мәнін табу керек:
,
,
,
демек
.
Ал
,
.
Сонда
.
5.5 Жоғары ретті туындылар мен дифференциалдар. Лейбниц формуласы.
Егер
функциясының туындысы бар болса, онда
оны
деп белгілеп, бірінші ретті туынды деп
атаймыз. Осы 1-ші ретті туындыны бөлек
функция деп қарастырайық, онда оның
туындысы бар болуы мүмкін және
екінші ретті туынды деп аталады. Сол
сияқты функцияның
-ші
ретті туындысын жазуға болады:
немесе
.
Мысалдар:
.
Егер
және
дифференциалданатын функциялар болса,
онда сызықты комбинация үшін келесі
формула орынды:
,
ал олардың көбейтіндісі үшін:
Бұл формула Лейбниц формуласы деп аталады.
Мұнда
;
- бином коэффициенттері.
Жоғары ретті дифференциалдар
Функцияның бірінші ретті дифференциалы
келесі формуламен анықталады:
,
ал екінші ретті дифференциалы:
,
.
Сол сияқты
-ші
ретті дифференциал мына формуламен
анықталады:
.
Бұл формуладан:
-ші
ретті туынды шығады.
Тақырып № 6
Дифференциалданатын функциялардың негізгі теоремалары.
Ферма теоремасы. Айталық,
функциясы қандайда бір аралықта
анықталсын.Осы аралықтың ішкі
нүктесінде ең үлкен немесе ең кіші
мәндерін қабылдайтын болса, онда бұл
нүктедегі туындысы нөльге тең болады:
.
Ферма теоремасының геометриялық мағынасы: функцияның графигіне жүргізілген жанама оның ең үлкен немесе ең кіші нүктесінде абсцисса осіне параллель болып орналасады.
Ролль теоремасы. Егер
функциясы
кесіндіде үзіліссіз және осы интервалдың
ішкі нүктелерінде дифференциалданатын
болса,
теңдігі орындалса, онда
-да
ең болмағанда бір
нүктесі табылып, сол нүктеде
болады.
Лагранж теоремасы. Егер
сегментінде
функциясы үзіліссіз,
аралығында дифференциалданса, онда сол
аралықта кем дегенде бір
нүктесі табылып, келесі теңдік орындалады:
.
Коши теоремасы. Айталық,
сегментінде
және
функциялары анықталсын, сол кесіндіде
үзіліссіз және оның ішкі нүктелерінде
дифференциалданатын болса, онда бір
нүктесі табылып, сол нүктеде төмендегі
теңдік орындалады:
.
Лопиталь ережесі.
және
функциялары
интервалында дифференциалданатын және
нүктесінде нөльге айналатын болсын.
Сонда егер тиісті шектер бар болса:
,
,
онда осы өрнектер бойынша табылған
шектерді анықталмағандықтың түрін
айқындаудың Лопиталь ережесі деп
аталады.