Ақырсыз аз шамаларды салыстыру. Ақырсыз аз және шамалары берілсін . Осы шамаларды салыстыру денеміз қатнасының шегін табу. Бұл қатынас түріндегі анықталмағандық деп аталады.

Анықтама 5 Егер ақырсыз және шамалары үшін:

а) болса, онда шамасы -мен салыстырғанда жоғарғы ретті ақырсыз аз шама деп аталады, ал шамасы -мен салыстырғанда төменгі ретті ақырсыз аз шама деп аталады.

б) , болса, онда мен бір ретті ақырсыз аз шамалар деп аталады.

в) болса, онда мен эквивалентті ақырсыз аз шамалар деп аталады.

Жиі қолданылатын шектер

– бірінші тамаша шек.

- екінші тамаша шек.

тізбегі үшін теңсіздігі орындалады. Сондықтан жоғарыдан шенелген өспелі тізбек.

шегі бар болады. санының жуық мәні болатыны дәлелденген. Бұл сан Непер саны деп аталады.

Тақырып № 3

Функцияның шегі.

функциясы нүктесінің манайында мүмкін сол нүктенің өзінен басқа анықталсын.

Анықтама Егер кішкене саны үшін, осы саннан тәуелді санын теңсіздігін қанағаттандыратын барлық нүктелерінде теңсіздігі

орындалатындай етіп табуға болса, онда саны -тің нүктесіндегі шегі деп аталадыда деп белгілінеді. Аталған шек түрінде де жазылады.

Мысалы, екенін дәлелдейік. Кез келген саны үшін деп алып, болатынын көреміз. Демек, Яғни, болса, болады.

Анықтама Бізге Е жиынындағы сандардан құралған кез келген тізбегі, яғни берілсін. Ол тізбек нүктесіне жинақталатын (шегі бар) тізбек болсын, яғни ( - кез келген натурал сан). Сонда, егер осы тізбегінің мәндеріне сәйкес берілген функция мәндерінің тізбегі әрқашан да бір А санына жинақталатын болса, онда функциясы А санына ұмтылады дейді де, А санын функциясының нүктесіндегі шегі деп атайды. Оны былай жазады:

.

Бұл екі анықтама эквивалентті анықтамалар.

Шектер туралы теоремалар және оларды шешу тәсілдері :

Теорема 1 . Қосындының шегі шектердің қосындысына тең.

Теорема 2 . Көбейтіндінің шегі шектердің көбейтіндісіне тең.

Теорема 3 , . Егер болса, онда бөлшектің шегі алымының шегін бөлімнің шегіне бөлгенге тең.

Теорема 4 . Тұрақты шаманың шегі сол шаманың өзіне тең.

Теорема 5 . Тұрақты шаманы шектің сыртына шығаруға болады.

Шектерді есептеу мысалдар:

Мысал 1 Шек астындағы бөлшекті (х-2)-ге қысқартып

Мысал 2

Мысал 3

Мұндағы (бірінші тамаша шек)

Мысал 4

Бесінші және алтыншы мысалдардағы шектер бізге белгілі немесе (екінші тамаша шек) теңсіздіктерін қолдану арқылы есептеледі.

Мысал 5

Мысал 6

Ескерту: шегі анықталмағандығын, ал және шектері анықталмағандығын айқындайды.

Анықтама функциясының болып х-тің -ге ұмтылғандағы -ге тең шегі осы функцияның сол жақты шегі деп аталады да деп белгіленеді, ал болып х-тің -ге ұмтылғандығы -ге тең шегі функцияның оң жақты шегі деп аталады да, деп белгіленеді.

Егер функциясы нүктесінде және осы нүктенің маңайында анықталып, теңдігі орындалса, онда функциясы нүктесінде үзіліссіз болады.

Егер осы екі теңдіктің ең кемінде біреуі орындалмаса, онда үзіліс нүктесі деп аталады. Үзілістің екі түрі бар:

1. Секірме үзіліс, егер болып немесе немесе нүктесінде анықталмаса.

2. Шексіз үзіліс.

Мысал 1

функциясы үшін

теңдіктері орындалады, демек - секірме үзіліс нүктесі; секіріс -ге тең.

У

3

2

1

-1 0 1 х

Сурет 1.

Мысал 2

функциясын нүктесінде функцияны үзіліссіздікке зерттейік.

теңдіктері орындалады, демек шексіз үзіліс нүктесі. (Сурет-2)

у

0 π х

Сурет 2.