2.3Функциялардың классификациясы.

Негізгі элементар функциялар деп келесі функцияларды айтады: тұрақты функция , дәрежелік функция ( - кез келген сан), көрсеткіштік функция , логарифмдік функция , тригонометриялық функциялар: және кері тригонометриялық функциялар: .

Алгебралық амалдарды, тиісті композицияларды қолданып жоғарыда аталған негізгі элементар функциялар тобынан құрылған күрделі функцияларды элементар функциялар деп атайды. Мысалы, .

Барлық элементар функциялар алгебралық және трансценденттік функциялар болып екі класқа бөлінеді. Алгебралық функцияларға бүтін-рационал, бөлшек-рационал, иррационал функциялар жатады.

Кез келген иррационал емес функция трансценденттік функция болып табылады. Мысалы, және т.с.с.

Мысалы, - алгебралық, ал

т.б,– трансценденттік функциялар.

Айқындалған және айқындалмаған функциялар.

түрінде берілген функция айқындалған деп аталады. Мысалы, , – айқындалған функциялар. түрінде берілген функция айқындылмаған деп аталады, мысалы, – айқындалмаған функциялар.

Бір мәнді және көп мәнді функциялар. – бір мәнді, ал – көп мәнді функциялар.

Кері функция. Берілген функцияға кері функцияның болу шарты:

Егер функциясы аралығында бірсарынды және бір мәнді болып, осы аралықта аралығында бейнелесе, онда кері функция бар болады және аралығында бір мәнді және бірсарынды функция болады.

Мысалы сандар өсінде анықталған және осы аралықта өспелі функция. Сондықтан аралығында анықталған кері функция бір мәнді және бірсарынды. Осы функциядағы аргументі мен функцияның әдеттегідей деп белгілесек, бұл функция, түрінде жазылады. Демек, пен - функциялары өзара кері болады.

Дәл сол сияқты және функциялары өзара кері.

Күрделі функция.

функциясы аралығында анықталып өзгеру облысы болсын және аралығында функциясы анықталсын. Соңғы теңдіктегі - ті оның мәнімен ауыстырып, функциясына келеміз. Бұл жаңа функция аралығында анықталған. Осы функцияны функциядан функция алу әдісімен анықталған күрделі функция деп атайды. (Функциялар суперпозициясы).

Мысалы: , , деп алып, - күрделі функциясын кұрамыз.

Тақырып № 2

Тізбек және тізбектің шегі

Натурал сандар жиынында анықталған функциясының мәндерін сан тізбегі немесе тізбек деп атайды.

Егер тізбегі берілсе, оны символымен белгілейді немесе былай жазады:

Анықтама 1. Егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін өспелі дейді.

Анықтама 2. егер кез келген үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін кемімелі дейді.

Анықтама 3. егер кез келген үшін теңсіздігін қанағаттандыратындай оң саны табылса, онда тізбегін шектелген деп атайды.

Анықтама. Егер әрбір алдын ала берілген санына сәйкес натурал саны табылса және кез келген нөмірлері үшін теңсіздігі орындалса, онда санын тізбегінің шегі деп атайды. Жазылуы: немесе ұмтылғанда деп жазады.

Мысалы, тізбектің шегін табу керек.

Шешімі. болады.

Анықтама. Шегі бар тізбекті жинақты деп, шегі жоқ тізбекті жинақсыз деп атайды. Егер тізбектің шегі бар болса, онда тізбек шектелген болады. Жинақты тізбектің бір ғана шегі бар. Жоғары (төменгі) жағынан шектелген өспелі (кемімелі) тізбектің шегі бар.

Анықтама. Егер тізбектің шегі нөльге тең болса, онда мұндай тізбекті шексіз аз деп атайды.

Теорема 1. Екі шексіз аз тізбектердің қосындысы шексіз аз болады.

Теорема 2. Шектелген тізбектің шексіз аз тізбекке көбейтіндісі шексіз аз тізбек болады.

Анықтама. Егер кез келген саны үшін нөмірі табылып, барлық үшін теңсіздігі орындалса, онда тізбегін шексіз үлкен шама дейді және былай жазады: .

Теорема 3. Егер тізбегі, шексіз үлкен болса, онда тізбегі шексіз аз және керісінше тізбегі шексіз аз болса, онда тізбегі шексіз үлкен.

Теорема 4. Егер және тізбектері жинақты болса, онда

1) ;

2) ;

3) ;

4) .

Егер , онда

Анықталмаған өрнектер. Ақырлы шегі бар шамаларға арифметикалық амалдар қолдану нәтижесінде шекке көшкенде ешбір мазмұны жоқ, анықталмаған өрнекте деп аталатын, өрнектер шығуы мүмкін. Ондай жағдайларда айнымалы шаманың шектік мәнін табуға көшпес бұрын шыққан өрнектерді түрлендіру керек.

1) берілген айнымалылар мен үшін және болсын. Онда олардың қатынасының шегі түріндегі анықталмағандық болады. Себебі бұл екі айнымалының өзгеру заңына байланысты, бұл шек неше түрлі мәнге ие болуы мүмкін немесе шектің болмауы да мүмкін.

Мысалы, егер , болса, олардың қатынасының шегін табу керек. , . Сонда яғни түріндегі анықталмағандық шығады. Бірақ, . Демек, .