14. Функциясы нүктесінде және оның қандайда бір маңайында анықталған функция болсын. - нүктесіндегі аргумент өсімшесі , ал оған сәйкес келетін функция өсімшесі:

арқылы белгіленсін.

Анықтама. Егер нақты мәнді шегі бар болса, онда шектің мәнін функциясының - нүктесіндегі туындысы дейді де

символдарының бірімен белгіленеді.

Сонымен,

(1)

немесе

Егер (1) - шек немесе болса, онда функциясының - нүктесінде ақырсыз туындысы бар дейді.

Егер (1) - теңдіктегі шек немесе жағдайында қарастырылса, онда шек (егер ол бар болса) функциясының нүктесіндегі оң жақты туындысы, ал немесе жағдайында қарастырылса, онда сол жақты туындысы деп аталады да, олар сәйкес символдары арқылы белгіленеді.

Функцияның нүктесінде туындысы бар болуы үшін:

1) ; 2) Шарттарының орындалуы қажетті және жеткілікті. Онда

. (2)

Теорема. Егер функциясының нүктесінде ақырлы туындысы бар болса, онда функциясы осы - нүктесінде үзіліссіз болады.

Ескерту. Функция нүктеде үзіліссіз болса да, оның бір жақты ақырлы туындылары болмауы да мүмкін. Мысал ретінде мынадай функцияны қарастырайық:

, ,

Сонымен, функция нүктеде үзіліссіз болғанымен, ол нүктеде функцияның туындысы болмауы мүмкін екен.

Салдар. Егер нүктесі функциясының үзіліс нүктесі болса, онда осы нүктеде - тің ақырлы туындысы болмайды.

Туындының механикалық және геометриялық мағынасы

Лездік жылдамдық. материялық нүктенің түзудегі қозғалысының заңдылығын өрнектейтін функция болсын.

уақытқа дейін материялық нүкте , ал уақытқа дейін жол жүреді. Сондықтан -ден уақытқа дейін ол - жол жүреді. Бұл жолды қозғалыс уақыты -ға бөліп, қозғалыстың -ден -ға дейінгі уақыт аралығындағы орташа жылдамдығын табамыз:

.

Бұл жылдамдықтың жағдайдағы шегі (егер бар болса) қозғалыстың уақыт кезеңіндегі лездік жылдамдығы деп аталады:

туынды материялық нүктенің мезгіліндегі жылдамдығы болады.

Жанама туралы есеп. аралығында үзіліссіз функциясы берілсін. Оның - графигінен нүктесін белгілеп (1-2 суреттер) осы нүктедегі қисыққа жүргізілген жанаманы анықтайық. Ол үшін - қисығынан басқа нүктесін аламыз (1 - суретте , ал 2 - суретте жағдайы көрсетілген). мен нүктелері арқылы өтетін, - тің өсу жағына қарай бағытталған түзуін қиюшы деп атаймыз. Оның - өсінің оң бағытымен арасындағы бұрышын деп белгілейік және

.

Егер , онда және В нүктесі қисығы бойымен - нүктесіне ұмтылады. Осыдан бұрышы қандайда бір мәніне ұмтылса, онда

шегі бар және ол функциясының нүктесіндегі туындысына тең:

.

Керісінше, егер туындысы бар болса, онда .

Анықтама. - қисығының нүктесіндегі жанамасы деп және нүктелері арқылы өтетін ( - тің өсу жағына қарай бағытталған) - қиюшының ұмтылатын - түзуін айтады.

Аналитикалық геометриядан нүктесі арқылы өтетін бұрыштық коэффициенті , болатын түзу теңдеуі

түрінде жазылатыны белгілі. Олай болса, қисығының нүктесіндегі жанама теңдеуі

(3)

түрінде, ал нүктедегі нормаль теңдеуі.

(4)

түрінде жазылады.

15. . Күрделi функцияның туындысы

 

Теорема.Егер функциясының нүктесiнде, ал z=g(y) функциясының нүктесiнде туындысы бар болса, онда күрделi функциясының нүктесiнде туындысы бар болып, ол теңдiгiмен анықталады.

Басқа сөзбен айтқанда, күрделi функцияның туындысы оның құрамындағы функциялардың өз нүктелерiндегi (g(y)-тың , -тыңx₀-нүктесiндегi) туындыларының көбейтiндiсiне тең болады.

 

4. Керi функцияның туындысы. Егер функциясы аралығындаүзiлiссiз және бiркелкi болып, нүктесiнде нольге тең емес туындысы бар болса, онда керi функциясының да нүктесiнде туындысы бар болады және немесе теңдiгi орындалады.

5. Логарифмдiк туынды. функциясының логарифмiнiң туындысын логарифмдiк туынды деп атайды.

Алдын ала логарифмдеу функциядан туынды табуды жеңiлдетедi. Берiлген функцияда логарифмделетiн амалдар (көбейту, бөлу, дәрежелеу және түбiр табу) бар болғанда және дәрежелi-көрсеткiштiк функция болған кезде логарифмдiк туындыны қолданған жөн.

16. Анықтама. Егер функциясының - нүктесіндегі - өсімшесі (5) түрінде жазылатын болса, онда берілген функциясы - нүктесінде дифференциалданады дейді ( -ке тәуелді емес, бірақ - ке тәуелді).

Теорема. функциясы - нүктесінде дифференциалданатын функция болу үшін - нүктесінде функцияның ақырлы туындысының болуы қажетті және жеткілікті, теңдіктегі бірінші қосылғыш -ке пропорционал және оған сызықты тәуелді, ал екінші қосылғыш , - ке салыстырғанда кішкене болу реті жоғары шексіз аз шама , яғни жағдайда екінші қосылғыш қарағанда жылдамырақ нөлге ұмтылады. Осыған байланысты шамасын функция өсімшесінің бас мүшесі дейді және ол функцияның дифференциалы деп аталады да арқылы белгіленеді.

Сонымен, .

Егер -нүктесінде дифференциалданатын функциялар болса, онда ; ; , - тұрақты сан ; . теңдіктен немесе:

,

жуық теңдігін жазуға болады және оны жуықтап есептеулерге қолданылады.

Басқаша сөзбен анықтама былай айтылады: Егер функцияның өсімшесінің өзінің пайда болуына себепші болған тәуелсіз айнымалының өсімшесіне қатынасының соңғы өсімше нольге ұмтылғанда ақырлы шегі бар болса, онда функцияны дифференциалданатын деп, сол шекті функцияның туындысы деп атайды.

Дәл осы сияқты, функциясының х₀ нүктесіндегі сәйкес сол және оң жақты туындыларының анықтамасына келеміз:

Демек, функциясының х₀ нүктесінде туындысы бар болуы үшін, оның ол нүктеде сол және оң жақты туындылары бар болып, олар өзара тең болуы қажетті және жеткілікті.

 

2. Дифференциалдау ережелері. және функциялары дифференциалданатын, ал с түрақты сан болса, онда келесі дифференциалдау ережелері орындалады:

 

1. 2. ,

3. , 4. ,

5. .