5. Монотонды тізбектердің анықтамасы:

тізбегі берілсін. Егер әрбір үшін болса, онда оны кемімейтін тізбек деп, ал болса, онда оны өспелі тізбек деп атайды. Егер әрбір үшін болса, онда оны өспейтін тізбек деп, ал болса, онда оны кемімелі тізбек деп атайды. Бұл тізбектердің әрқайсысы монотонды деп аталады. Өспелі және кемімелі тізбектерді қатаң монотонды деп атайды.

Монотонды тізбектер туралы негізгі теорема:

Монотонды және шенелген тізбектің әрқашанда нақты мәнді шегі бар болады.

саны. Әрбір оң бүтін үшін болсын. Монотонды тізбектер туралы негізгі теореманы қолданып, тізбегінің нақты мәнді шегі бар екенін дәлелдеуге болады

6. Мен нақты сандар жиыны болсын. Әрбір санына жиынының санын сәйкес қоятын ережесі жиынында берілген санды функция деп аталады және ол

немесе

деп жазылады.  функцияның анықталу жиыны ал  функцияның мәндер жиыны деп аталады.  аргумент немесе тәуелсіз айнымалы, ал аргументтің белгілі бір мәніне сәйкес келетін саны  нүктесіндегі функция мәні деп аталады және оны кейде арқылы да белгілейді.

Функция ұғымы қарастырылған санды функциялармен ғана шектелмейді. мен  кез келген жиындар болсын.

Анықтама. Әрбір элементіне жалғыз элементін сәйкестендіретін ереже жиынында анықталған функция деп аталады.  оның мәндер жиыны, ал - функцияның анықталу жиыны деп атайды.

Санды функцияларды түрлі әдістермен беруге болады.

1⁰. Кестелік. Функция кесте түрінде берілуі мүмкін.

Бұл тәсіл функцияны толық сипаттай алмайды өйткені кестеге функцияның анықталу жиынындағы барлық нүктелерді кіргізу мүмкін емес.

2⁰. Графиктік тәсіл. жазықтығының және болатын нүктелер жиынын функциясының графигі деп аталады. График функцияның геометриялық бейнесі. Ол арқылы функцияның өзгеру тәртібін анықтауға болады.

3⁰. Аналитикалық тәсіл. Мұнда формула көмегімен аргументінің әрбір мәні үшін функциясының сәйкес келетін мәнін есептеу алгоритмі нақты көрсетіледі. Бұл жағдайда әдетте функцияның анықталу жиыны деп осы берілген формуланың мағынасы бар болатын аргументінің барлық мәндерінен тұратын жиынды атайды.

Анықтама. функциясы мәндеріне шарты орындалатындай мәндерді сәйкестендіретін функция болсын, яғни функцияның әрбір мәні тек қана бір нүктеде қабылданады, онда әрбір санына болатындай белгілі бір саны сәйкес қойылуы мүмкін. Осылай анықталған жаңа функция берілген функциясына кері функция деп аталады.

Анықтама. және функциялары беріліп кірістіруі орындалсын. Онда әрбір элементіне бойынша сәйкес келетін элементіне g ережесін қолданудың нәтижесін сәйкес қоятын ереже, және g функцияларының композициясы немесе күрделі функциясы деп аталады да, немесе символдарымен белгіленеді.

Анықтама. Егер функциясының анықталу жиыны симметриялы жиын болып және әрбір х үшін

, (

болса, онда функциясын жұп (тақ) дейді.

Анықтама. Егер барлық , және белгілі бір үшін болса, онда функциясы периодты функция деп аталады, ал санын оның периоды деп атайды.

Анықтама. Егер болатын сандары үшін:

орындалса онда кемімейтін,

орындалса онда өспейтін,

орындалса онда  өспелі,

орындалса онда  кемімелі

функциялар деп аталады.

жиынында осы төрт қасиеттің тек біріне ғана ие болатын функцияны  жиынында монотонды деп атайды.

7. Жиі пайдаланатын екі тамаша шекті келтірейік:

1⁰. (бірінші тамаша шек), (6)

2⁰. немесе (7)

, (екінші тамаша шек) (8)

8. Теорема 1. -ға ұмтылғанда және функцияларының нақты мәнді шектері бар болсын, яғни , теңдіктері орындалсын, онда:

1) .

2) .

3) .

Теорема 2. -ға ұмтылғанда және функцияларының нақты мәнді шектері бар болсын. Яғни , теңдіктері орындалсын, егер болса, онда

;

(бұл теоремалар болғанда да орындалады).

Егер осы теоремалардың шарттары орындалмаса, онда , , , түріндегі анықталмаған өрнектер пайда болады. Онда берілген функциясының шегі жоқ әлде бар ма, бар болса мәні қандай болатынын алдын ала білуге болмайды, оны анықтау керек болады. Осы мәселе анықталмағандықты ашу деп аталады.

Теорема 3 (күрделі функцияның шегі туралы теорема). Егер , болса, онда .

9. Анықтама. Егер  онда функциясы ға ұмтылғанда шексіз аз (ш.а.) шама деп аталады.

Теорема 1. теңдігі орындалуы үшін ( -ға ұмтылғанда шексіз аз шама) теңдігі орындалуы қажетті және жеткілікті. Сонымен

Теорема 2. Егер шексіз аз шамалар болса онда олардың қосындысы мен көбейтіндісі шексіз аз болады.

Теорема 3. шексіз аз шама және шенелген функцияның көбейтіндісі шексіз аз болады, яғни - шексіз аз шама.

Анықтама. Егер әрбір саны арқылы теңсіздігін қанағаттандыратын барлық үшін

теңсіздігі орындалатындай саны бар болса онда функциясы шексіз үлкен шама немесе қысқаша шексіз үлкен деп аталады да

немесе

символдарымен белгіленеді.

Теорема 4. Егер  нүктесінің белгілі бір маңайында және болса, онда .

Теорема 5. Егер болса, онда , .

Теорема 6. ұмтылғанда бірдей таңбалы шексіз үлкен функциялардың қосындысы (осы таңбамен алынған) шексіз үлкен болады

Теорема 7. ұмтылғанда шексіз үлкен функциясы мен нүктесінің маңайында шенелген функция қосындысы ұмтылғанда шексіз үлкен функция болады.