Функцияның өсуі және кемуі. Мысал.

Теорема – 1:

Егер дифференциалданатын f(x) функциясы (a,b) аралығында өспелі (кемімелі) болса, онда үшін .

Дәлелдеу:

f(x) функциясы (a,b) аралығында өспелі болсын. Және (a,b) аралығына тиісті кез-келген x және x+∆x алайық . Сосын қатынасын қарастырайық. f(x) функциясы өспелі сол

с ебепті онда және егер және

. .Екі жағдайда да , алымы мен бөлімінің таңбасы

б ірдей болғандықтан теорема бойынша f(x) функциясы x нүктесінде туындысы бар және алдыңғы қатынастың шегі болады. Содан шығады.

Теорема – 2:

Е гер f(x) функциясы (a,b) интервалында дифференциалданатын болса және үшін

орындалатын болса, онда осы функция (a,b) интервалында өспелі (кемімелі) болады.

Мысал:

функциясын өсу мен кемуге зерттеу.

Ф ункция барлық сандар тізбегінде анықталған:

Ақырсыз аз функцияның негізгі қасиеттері.\

А.А.Ф.-дың алгералық қосындысы да А.А.Ф. болады.

x x₀-ге ұмтылғанда α(x) және β(x) функциялары ақырсыз аз болсын. Одан кез-келген 𝜀>0 үшін орындалады, онда ε/2>0 болады. Осыдан оындалатын саны табылып, мына теңдік орындалады. (1) және онда (2)

δ – δ₁ және δ₂ кіші сан болсын. Сонда теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х үшін (1)және (2) теңсіздік орындалады. Содан мына қатынас пайда болады.

Содан, Ол дегеніміз үшін ввввввввввввввввввввввввввввввввв -—ақырсыз аз.

Ақырсыз аз функцияның көбейтіндісі де А.А.Ф. болады.

де f(x) функциясы шектелген болсын. Сонда M>0 саны табылсын, және x₀ нүктесінің δ₁ маңайындағы барлық х үшін мына теңсіздік орындалады.

(1) және де α (x) функциясы ақырсыз аз болсын. Сонда кез-келген ε>0 үшін, және ε/M>0 үшін δ₂>0 саны табылады және мына теңсіздік орындалады.

(2)

δ арқылы δ₁ және δ₂ кіші сандарды белгілейміз. Сонда теңсіздігін қанағаттандыратын барлық х үшін (1) және(2) теңсіздіктер орындалады. Содан Ол дегеніміз үшін – ақырсыз аз функция.

Функция шегінің Гейне және Коши бойынша анықтамасы. Мысал.

(Гейне)

A саны y=f(x) функциясының x→x₀ ұмтылғандағы шегі деп аталады, егер x₀ санына ұмтылған кез келген x₁, x₂, x₃,… сандар тізбегі үшін сәйкесінше f(x₁), f(x₂), f(x₃),… сандар тізбегі A санына ұмтылса.

Б ұны   = A деп белгілейді.

(Коши)

А саны функция шегі деп аталады. Егер алдын-ала берілген ε оң санына δ оң саны табылып, х-тің х₀-ге тең емес қанағаттандыратын мәндері үшін, орындалуы керек.

Мысал.

y = x² болса онда  .

Өйткені нөлге ұмтылған кез келген x₁, x₂, x₃,… сандар тізбегі үшінx₁², x₂², x₃²,… сандар тізбегі де нөлге ұмтылады

Бірінші және екінші тамаша шектер.

Тамаша шектер.

А). Бірінші тамаша шек.

Теорема

Дәлелі: 0А=1 сызбадан десек АВ=sinx 0В=cosx және CD=tgx болады.

Сонымен бірге (1)

(2)

(2)ні ке көбейтсек онда болады немесе

Шегі бар функциялардың 4-ші қасиетінен келісіп шығарады.

Мысалдар:

1)

2)

3)

Б). Екінші тамаша шек.

Теорема: сан тізбегінің шегі да 2 мен 3 арасындағы санға ұмтылады.

Дәлелі: ді Ньютон биномы бойынша жіктейік. Бұл жерде x=1 болғандығы үшін

болғанда (1)-дің барлық мүшелері оң таңбалы және олар (2) сан тізбегі сәйкес мүшелерінен үлкен емес, ал (2) нің жақша ішіндегі бөлігі болған кемейуіші геометриялық прогрессия . Сондықтан теңсіздігі орындалады. Яғни ті аламыз.

Анықтама: е иррационал сан болып ол 2,7182818284... ке тең.

Теорема:

Дәлелі.

ден келіп шығады.

Мысалдар:

1)

2)

1. 1⁰. Жиындардың теңдігі. Жоғарыда анықталған кірістіру символы бойынша жиындардың теңдігі анықталады.

Егер және жиындары үшін және кірістірулері бірдей орындалса, онда және жиындары тең дейді де , символымен белгілейді.

2⁰. Жиындардың қиылысуы. және жиындарының қиылысуы деп жиынын, яғни және жиындарында бірдей жататын элементтерінен құрылған жиын аталады.

3⁰. Жиындардың біріктіруі. және жиындардың біріктіруі деп жиынын, яғни және жиындарының кемінде біреуінде жатқан элементтеріне құрылған жиынды айтады ( бұған мен -те жататын элементтер де кіреді ).

4⁰. Жиындардың айырымы. және жиындарының айырымы деп жиыны, яғни жиынында жатып, жиынында жатпайтын элементтерінің жиыны ататлады.

2. 1- анықтама. Егер санға белгілі бір ереже (заң) бойынша нақты саны сәйкестендірілсе, онда сан тізбегі немесе жай тізбек берілген дейді.

Тізбекті

символдарының біреуімен белгілейді.

2- анықтама. Егер кез келген санына сәйкес N=N( ) саны табылып, үшін

теңсіздігі орындалса, а санын тізбегінің шегі деп атайды да оны былай жазады:

Анықтама. Егер lim (x) 0 болса, онда 0 õõ жағдайда (x) шексіз аз

x x 0 функция деп аталады.

Шексіз аз функциялардың негізгі қасиеттері:

0 1 . Бірнеше шексіз аз функциялардың қосындысы мен кӛбейтінділері

( 0 õõ ) – да шексіз аз функция болады.

0 2 . Шексіз аз функция мен шектелген функцияның кӛбейтіндісі 0 õõ -

да шексіз аз функция болады.

Анықтама. Егер кез келген ε>0 саны үшін () саны табылып,

0x x 0 шартын қанағаттандыратын барлық х үшін f (x) теңсіздігі

орындалса, онда f(x) функциясын 0 õõ жағдайда шексіз үлкен функция деп

атайды және былай белгілейді lim f (x)

õ õ0

Шексіз үлкен функциялардың негізгі қасиеттері:

0 1 . Бірнеше шексіз үлкен функциялардың қосындысы мен кӛбейтінділері

шексіз үлкен функция болады.

0 2 . Шектелген f xC1 0 функция мен шексіз үлкен функциялардың

0 õõ - дағы кӛбейтіндісі - f f 1 - шексіз үлкен функция болады.

3. 3- анықтама. Егер тізбек шегі саны тиянақты (шекті) сан болса, онда оны а санына жинақты дейді. 4- анықтама. Егер тізбектің шегі жоқ немесе болса, онда ол тізбекті жинақсыз дейді.

1-теорема. Жинақты тізбектің тек бір ғана шегі бар.

2-теорема. Кез келген жинақты тізбек шектелген.

Ескерту. Кез келген шектелген тізбек жинақты деуге болмайды.

3 –теорема. Егер {x_n}, {y_n} тізбектері жинақты және , болса, онда

1. {x_n y_n} тізбегі жинақты, lim(x_n y_n) = a b.

n

2. {x_n y_n} тізбегі жинақты, lim(x_n y_n) = a b.

n

3. { }, b 0 тізбегі жинақты, lim =

n

4 –теорема. {x_n}, {y_n}, {z_n} үш тізбек үшін x_n z_n y_n теңсіздігі орындалса және

lim x_n= a, lim y_n= b болса, онда lim z_n= a

n n n

4. 4- анықтама. Егер саны үшін N номері табылып шартын қанағаттандыратын барлық n, m номері үшін

теңсіздігі орындалса, онда тізбегін Коши шартын қанағаттандырады немесе фундаментальды тізбек деп атайды.

Теорема (Коши критериі). Тізбек жинақты болу үшін оның фундаментальды болуы қажетті және жеткілікті.

Егер кез келген саны арқылы барлық нөмірлері үшін теңсіздігі орындалатындай оң саны (  санына тәуелді) табылса онда а саны тізбегінің шегі деп аталады да

немесе

арқылы белгіленеді және тізбегінің санына тең шегі бар, немесе тізбегі а санына ұмтылады немесе тізбегі а санына жинақталады дейді.