Организация снабжения и управление трудовыми ресурсами (транспортная задача)
Постановка задачи.
Целью транспортной задачи является минимизация транспортных издержек (или максимизация прибыли) при снабжении грузом нескольких потребителей, если данный груз хранится на удаленных складах.
Пусть требуется развести груз, хранящийся на т складах А1,А2,...Ат в количествах а1,,а2,...,ат соответственно по n пунктам назначения В1,В2,...Вп, подавшим заявки на b1,b2,...,bn единиц груза. Пусть запас груза на всех складах равен суммарной заявке, то есть:
Известно, что стоимость перевозки единицы груза от i-го склада к j-му потребителю равна Cij Требуется составить такой план перевозок, чтобы все заявки были выполнены, а стоимость всех перевозок была минимальна.
Математическая модель. Пусть хij — количество груза, перевозимого со склада Аi потребителю Bj. Прямоугольную матрицу, составленную из величин хij будем называть планом перевозок.
Суммарное количество груза, перевозимое с каждого склада потребителям, должно быть равно запасу на данном складе. То есть:
Суммарное количество груза, доставляемое каждому потребителю со складов, должно быть равно заявке данного потребителя:
Суммарная стоимость всех перевозок должна быть минимальной:
В данной модели суммарные поставки равны общему количеству заказов. Эти задачи называются сбалансированными. Рассмотрим пример такой задачи.
Рассмотрим конкретный пример транспортной задачи и приведем последовательность действий, необходимых для ее решения с помощью MS Excel.
Пример 1
Пусть имеются n = 4 поставщика и m = 5 потребителей. Издержки перевозки единицы груза от i-го поставщика в j-й пункт назначения, запасы поставщиков и заказы потребителей приведены в таблице.
|
D1 |
D2 |
D3 |
D4 |
D5 |
Запасы |
S1 |
13 |
7 |
14 |
7 |
5 |
30 |
S2 |
11 |
8 |
12 |
6 |
8 |
48 |
S3 |
6 |
10 |
10 |
8 |
11 |
20 |
S4 |
14 |
8 |
10 |
10 |
15 |
30 |
Заказы |
18 |
27 |
42 |
26 |
15 |
|
Требуется оптимизировать план перевозок.
Решение.
Организуем данные в MS Excel так, как показано на рис. 1.
Вызовем процедуру Поиск решения и укажем параметры: Целевая ячейка Н8 (минимум), Изменяя ячейки: B11:F14. Ограничения: B11:F14 > 0 (перевозки неотрицательны), H11:H14 = 0 (ограничения на количества груза от каждого поставщика), B16:F16 = 0 (ограничения на количества груза для каждого потребителя). При такой организации данных все перевозки окажутся целыми числами (если целыми являются числа в колонках «Запасы» и строке «Заказы»).
Проверим, что в полученном решении ровно m + n - 1 = 8 ненулевых перевозок.
В итоге мы получим минимальную величину издержек, равную 980 единицам. Если повторить расчет, максимизируя транспортные издержки, то можно оценить отличие наилучшего варианта от наихудшего. Наихудший вариант даст величину издержек, равную 1459, то есть в худшем случае издержки увеличатся по сравнению с оптимальным вариантом на 479 денежных единиц.