14.1. Приближение сигналов рядами тейлора

Исторически разложение функций в ряд Тейлора явилось одним из первых методов приближения функций в окрестностях точек х₀:

f(x)  f(x₀) + (x-x₀) + (x-x₀)² + … + (x-x₀)ⁿ.

f(x)  f(x₀) + (x-x₀)ⁱ.

При разложении функции в окрестностях точки х₀=0 ряд Тейлора принято называть рядом Маклорена.

Первый член f(x₀) ряда представляет собой отсчет функции в точке х₀ и грубое приближение к значениям функции в окрестностях этой точки. Все остальные члены ряда детализируют значения функции в окрестностях точки х₀ по информации в соседних точках и тем точнее приближают сумму ряда к значениям функции, чем больше членов суммы участвуют в приближении, с одновременным расширением интервала окрестностей точного приближения. Наглядно это можно видеть на примере двух функций, приведенном на рис. 14.1.1 (копия расчетов в среде Mathcad с усечением отображения членов длинных рядов f2(x) и f4(x)).

Рис. 14.1.1. Примеры разложения функций в ряд Маклорена.

Приближение функций рядом Тейлора имеет много недостатков. Оно применяется, в основном, для непрерывных и гладких функций в локальных интервалах задания. Для разрывных и периодически повторяющихся функций использовать его практически невозможно, равно как и для непрерывных не дифференцируемых функций. Операция дифференцирования сама по себе тоже может быть далеко не простой, а получаемые ряды могут сходиться очень медленно.

14.2. Интерполяция и экстраполяция сигналов.

Самыми простыми способами обработки таблиц являются линейная и квадратичная интерполяции, которые выполняются по уравнениям:

f(x)_лин = а₀ + а₁х. f(x)_кв = а₀ + а₁х + а₂х².

При кусочно-линейной интерполяции вычисления дополнительных точек выполняются по линейной зависимости. Графически это означает простое соединение узловых точек отрезками прямых. В системе Mathcad для этого используется функция linterp(X,Y,x), где X и Y – вектора узловых точек. Функция linterp(X,Y,x) возвращает значение функции при её линейной интерполяции по заданным аргументам х. При небольшом числе узловых точек (менее 10) линейная интерполяция оказывается довольно грубой. Первая производная функции аппроксимации испытывает резкие скачки в узловых точках. Для целей экстраполяции функция linterp не предназначена и за пределами области определения сигнала может вести себя непредсказуемо.

Линейная и квадратичная аппроксимация являются частным случаем полиномиальной интерполяции с помощью аппроксимирующего полинома:

f(x) = а₀ + а₁х + а₂х² + … + a_nxⁿ = a_i·xⁱ. (14.2.1)

Для выполнения полиномиальной интерполяции достаточно по выражению (14.2.1) составить систему линейных уравнений для n узловых точек и определить n значений коэффициентов a_i. При глобальной интерполяции, по всем N точкам задания функции, степень полинома равна N-1. Пример выполнения глобальной интерполяции приведен на рис.14.2.1. Равномерной дискретизации данных для интерполяции не требуется. Максимальная степень полинома на практике обычно устанавливается не более 8-10, а большие массивы данных интерполируются последовательными локальными частями.

Рис. 14.2.1. Интерполяция данных.

Для практического использования более удобны формулы аппроксимации, не требующие предварительного определения коэффициентов аппроксимирующих полиномов. К числу таких формул относится интерполяционных многочлен по Лагранжу /40/. При аппроксимации функции у(х) многочленом n-й степени Y(x):

Y(x) = + +…

…+ . (14.2.2)

Пример интерполяции по Лагранжу приведен на рис. 14.2.2.

Рис. 14.2.2. Интерполяция по Лагранжу.