2.2.2.5 Доверительный интервал для неизвестного параметра пуассоновского распределения

Пусть число появлений некоторого события A является случайной величиной, имеющей пуассоновское распределение, и пусть в результате наблюдения событие A произошло раз. Требуется найти точечную и интервальную оценку неизвестного параметра пуассоновского распределения. Поскольку является математическим ожиданием пуассоновской случайной величины, то несмещенной, состоятельной и эффективной оценкой для будет выборочное среднее, которое для рассматриваемой ситуации единственного наблюдения совпадает с . Что касается доверительных пределов для параметра , то, как и в случае биномиального распределения, можно предложить точное и приближенное решения. Выражения для приближенных доверительных пределов также основаны на применении центральной предельной теоремы и применимы лишь при достаточно большом - ориентировочно при .

Точный доверительный интервал для параметра пуассоновского распределения имеет вид

где - число появлений события A, а обозначает квантиль порядка распределения с степенями свободы.

Рассмотрим следующий пример. Пусть после фильтрования 1 мл воды на фильтровальной бумаге обнаружено 100 клеток фитопланктона. Предполагая, что число клеток в заданном объеме воды имеет пуассоновское распределение, найти 95%-ные доверительные пределы для параметра этого распределения. Подставляя , и в приведенные выше выражения, получаем 95%-ный доверительный интервал: (81,3; 121,7).

Приближенный доверительный интервал для параметра пуассоновского распределения. Поскольку число появлений события A при наблюдении пуассоновской случайной величины можно аппроксимировать биномиальным распределением, а последнее - нормальным, то при не слишком малых в соответствии с центральной предельной теоремой распределение случайной величины будет близко к нормальному. Учитывая, что дисперсия пуассоновской случайной величины равна , получаем для ее математического ожидания приближенные доверительные пределы . Заменяя параметр его выборочной оценкой , получаем окончательно для приближенного доверительного интервала параметра следующее выражение

.

В частности, для предыдущего примера, подставляя и , получаем приближенный доверительный интервал (80,4; 119,6), не слишком отличающийся от точного доверительного интервала.

2.2.2.6 Приближенный доверительный интервал для неизвестного коэффициента корреляции двумерного нормального распределения

Рассмотрим теперь вопрос построения доверительного интервала для коэффициента корреляции. Пусть - случайная выборка объема из двумерного нормального распределения. Пусть - коэффициент корреляции случайных величин и , а - выборочный коэффициент корреляции. Распределение коэффициента корреляции , особенно при значениях близких к 0 или 1 может сильно отличаться от нормального. Однако распределение следующей функции от , называемой преобразованием Фишера, довольно хорошо аппроксимируется нормальным распределением

со средним и дисперсией . Соответственно, стандартизованная случайная величина будет иметь стандартное нормальное распределение

и с вероятностью будет заключена в пределах , т.е.

Решая неравенство под знаком вероятности относительно неизвестного коэффициента корреляции , получаем окончательно

Заметим, что полученный доверительный интервал для коэффициента корреляции чувствителен к отклонениям от исходного предположения о двумерной нормальности случайных величин и .

Пример. Пусть объем выборки , а вычисленное по выборке значение , тогда 95%-ным доверительным интервалом для неизвестного коэффициента корреляции будет интервал (0,05; 0,88).