2.2.2 Интервальное статистическое оценивание

В предыдущем параграфе мы рассматривали точечные оценки. Однако часто нас интересует не только конкретное значение оценки, но и такие свойства оценки, которые ассоциируются с ее точностью и надежностью. Этим требованиям отвечают так называемые интервальные оценки. Интервальная оценка - это некоторый интервал называемый доверительным интервалом, концы которого (доверительные пределы) зависят от выборочных значений и заданной доверительной вероятности и который с заданной вероятностью , содержит теоретическое («истинное») значение оцениваемого неизвестного параметра, т.е.

(дополнение до 1 будем обозначать , т.е. ). Наиболее часто используются значения доверительной вероятности равные 0,95 или 0,99 (95%-ный и 99%-ный доверительные интервалы).

2.2.2.1 Доверительный интервал для математического ожидания нормально распределенной случайной величины с известной дисперсией

Проще всего понять логику интервального оценивания на примере построения доверительного интервала для математического ожидания нормально распределенной случайной величины с известной дисперсией. Пусть - нормально распределенная случайная величина с неизвестным математическим ожиданием и дисперсией , т.е. в наших обозначениях , и имеется выборка значений этой случайной величины объема . Требуется найти доверительный интервал для с доверительной вероятностью .

Выше было показано, что выборочное среднее (для любого распределения, в том числе и нормального) имеет математическое ожидание, равное математическому ожиданию исходной случайной величины, т.е. , а дисперсия - дисперсии исходной случайной величины, деленной на , т.е. . Следовательно, статистика

полученная путем стандартизации выборочного среднего , будет иметь нулевое математическое ожидание и единичную дисперсию. Поскольку, как мы знаем, линейные комбинации нормально распределенных случайных величин имеют также нормальное распределение, а случайная величина фактически является линейной комбинацией нормально распределенных случайных величин то будет стандартно распределенной случайной величиной, т.е. . Стандартное нормальное распределение - это конкретное, полностью заданное распределение, квантили которого можно найти в соответствующих таблицах (или вычислить путем численного интегрирования). В частности, можно найти симметричные относительно центра распределения границы, внутрь которых попадает с заданной вероятностью 

или, с учетом симметрии,

(через и обозначены квантили стандартного нормального распределения порядка и ). В частности, справедливы следующие неравенства

и

Подставляя в (2.2) выражение для из (2.1), получаем

или, после преобразований,

Это означает, что интервал будет -ным доверительным интервалом для неизвестного математического ожидания нормального распределения с известной дисперсией . В частности, 95%-ным доверительным интервалом будет интервал , а 99%-ным - . Мы видим, что ширина доверительного интервала уменьшается при уменьшении , увеличении объема выборки и снижении доверительной вероятности.