2.3.5 Сравнение параметров двух пуассоновских распределений

Пусть две независимые случайные величины и , имеющие пуассоновское распределение с параметрами и , соответственно, при проведении испытаний приняли значения k и l. Требуется проверить гипотезу о равенстве параметров и распределений этих случайных величин. Для этого можно использовать статистику

,

распределение которой при выполнении и при довольно точно приближается стандартным нормальным распределением. Соответственно, как и в предыдущем параграфе, критическая область уровня значимости для проверки гипотезы против двусторонней альтернативы будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов и , против односторонней альтернативы - из одного полуинтервала и против односторонней альтернативы - также из одного полуинтервала .

2.3.6 Проверка гипотезы о равенстве нулю коэффициента корреляции

Пусть - случайная выборка пар значений двумерной случайной величины , имеющей двумерное нормальное распределение. Требуется проверить гипотезу о равенстве коэффициента корреляции этого двумерного распределения заданному числу . Для проверки этой гипотезы можно использовать статистику

,

распределение которой при выполнении и при достаточно большом довольно точно приближается стандартным нормальным распределением. Соответственно, как и в предыдущих двух параграфах, критическая область уровня значимости для проверки гипотезы против двусторонней альтернативы будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов и , против односторонней альтернативы - из одного полуинтервала и против односторонней альтернативы - также из одного полуинтервала .

Обычно проверяется гипотеза о равенстве коэффициента корреляции нулю, что в случае двумерного нормального распределения, как ранее отмечалось, эквивалентно проверке гипотезы о независимости и . В этом случае приведенное выше выражение для статистики критерия упрощается

Пример. Пусть объем выборки , вычисленное по выборке значение и требуется проверить гипотезу против альтернативы .

Выборочное значение статистики , вычисленное по формуле (2.5), равно 1,83. Поскольку оно не выходит за двусторонние 5%-ные критические пределы стандартного нормального распределения , то у нас нет оснований отвергнуть нулевую гипотезу об отсутствии корреляции. Если бы у нас были основания предполагать, что корреляционная зависимость в случае ее наличия может быть только положительной, то следовало бы использовать для проверки H₀, одностороннюю критическую область, которая для представляет собой бесконечный полуинтервал . Значение 1,83 попадает в эту критическую область и, следовательно, гипотеза об отсутствии корреляции должна бы была быть отвергнута. Заметим, однако, что число наблюдений в данном примере недостаточно велико для уверенного использования данного приближенного критерия. Если к этому добавить тот факт, что выборочное значение статистики критерия находится вблизи границы критической области, то следует заключить, что по имеющимся данным нельзя сделать надежного вывода ни о наличии, ни об отсутствии корреляции.

Отметим, что если бы, скажем, значение было получено для , то выборочное значение статистики было бы равно 4,75, и гипотеза однозначно должна бы была быть отвергнута не только на уровне значимости 5%, но и 1% (и даже более высоком, т.к. вероятность того, что стандартно распределенная случайная величина примет значение большее 4,75, равна 0.000001).