2.3.3 Проверка гипотез о дисперсиях

2.3.3.1 Проверка гипотезы о равенстве заданному числу дисперсии нормально распределенной случайной величины (одновыборочный 2-критерий)

Для проверки гипотезы о равенстве дисперсии нормально распределенной случайной величины заданному числу рекомендуется использовать статистику

Можно показать, что эта статистика, при условии, что верна гипотеза , распределена по закону ² с степенями свободы. Критическая область уровня при двусторонней альтернативе состоит из двух промежутков: и , где и - квантили порядка и распределения с степенями свободы. Для односторонней альтернативы критическая область имеет вид , а для альтернативы - соответственно, .

2.3.3.2 Проверка гипотезы о равенстве дисперсий двух независимых нормально распределенных случайных величин (двухвыборочный f-критерий)

Выше мы видели, что процедура проверки гипотезы о равенстве двух математических ожиданий двух нормально распределенных случайных величин упрощается, если их дисперсии одинаковы. Следующий критерий позволяет проверить нулевую гипотезу о равенстве дисперсий двух нормально распределенных случайных величин. В качестве статистики критерия используется отношение несмещенных оценок дисперсий этих случайных величин

При условии, что верна гипотеза , можно доказать, что статистика критерия имеет -распределение с и степенями свободы. Соответственно, критическая область уровня для проверки гипотезы против двусторонней альтернативы будет состоять из двух интервалов: и , где - квантили порядка и -распределения с и степенями свободы. Для односторонней альтернативы критическая область имеет вид , а для альтернативы - соответственно . Если в качестве статистики использовать отношение большей оценки дисперсии к меньшей, то в качестве критической области при двусторонней альтернативе следует использовать одностороннюю критическая область - это позволяет ограничиться таблицами -распределения, содержащими значения функции распределения только для аргументов больших единицы.

Заметим, что в отличие от -критерия -критерий чувствителен к отклонениям исходных случайных величин от нормальности. При значительных отклонениях от нормальности, особенно при небольшом числе наблюдений, его не следует применять.

2.3.4 Сравнение параметров двух биномиальных распределений

Пусть две независимые биномиально распределенные случайные величины и с параметрами , и , , соответственно, при проведении независимых испытаний приняли значения и . Требуется проверить гипотезу о равенстве параметров и . Для этого можно использовать статистику

где , и - выборочные частоты, вычисленные по первой, второй и объединенной выборкам: , и . Если верна гипотеза , то для , , не очень близких к 0 или 1, и при достаточно больших , эта статистика имеет приближенно стандартное нормальное распределение. Практически приближение применимо, если каждая из четырех численностей и больше пяти.

Критическая область уровня значимости для проверки гипотезы против двусторонней альтернативы будет состоять из двух бесконечных полуинтервалов и , против односторонней альтернативы - из одного полуинтервала и против односторонней альтернативы - также из одного полуинтервала , где , , , и обозначают квантили соответствующего порядка стандартного нормального распределения.

Имеется также точный критерий Фишера для проверки этой гипотезы (см., напр., (Глотов, Животовский, Хованов, Хромов-Борисов,1982)).