К решению заданий контрольной работы № 2

П р и м е р 1. Найти неопределенные интегралы

а)

Решение

Выполним действие подведения под знак дифференциала, используя множитель х² , получим

б)

Решение

Воспользуемся формулой интегрирования по частям

Тогда

в)

Решение

Используем формулу, позволяющую понизить степень тригонометри-ческой функции

Тогда получаем

г)

Решение

Так как подынтегральная функция является неправильной рациональной дробью, то разделим числитель на знаменатель:

Таким образом, получаем

П р и м е р 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями ,

Решение. Изобразим фигуру, площадь которой необходимо вычислить:

Координаты точек пересечения параболы и прямой найдем из решения системы Откуда получаем ( ) и ( ) – координаты точек пересечения. Исходя из геометрического смысла определенного интеграла, находим

= (ед.²).

П р и м е р 3. Вычислить длину дуги данной линии

Решение. Воспользуемся формулой

Находим подынтегральную функцию:

П р и м е р 4

а) Найти общее решение уравнения

(1)

Решение. Данное уравнение относится к уравнениям вида Понизив его порядок с помощью подстановки где . Тогда . Подставив в уравнение (1) вместо и их выражения, получим

(2)

Это однородное уравнение первого порядка относительно функции . Уравнение (2) решим с помощью подстановки Подставив это в уравнение (2), получим

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

,

,

.

Проинтегрировав, получим

б) Найти общее решение уравнения

. (3)

Решение. Данное дифференциальное уравнение второго порядка, допускающее понижение порядка, относится к уравнениям вида Порядок такого уравнения понижается подстановкой , где Тогда

Подставляя вместо и их выражения в уравнение (3), получим

или

– линейное дифференциальное уравнение первого порядка относительно искомой функции

Решаем подстановкой

,

. (4)

Функцию выберем так, чтобы коэффициент при был равен нулю.

или

Подставляя в уравнение (4), получим

.

Тогда или

Разделив переменные и проинтегрировав, получим

– общий интеграл данного уравнения при Если т.е. то

Ответ: .

П р и м е р 5. Найти частное решение дифференциального уравнения

, удовлетворяющее начальным условиям

Решение. Общее решение данного уравнения состоит из суммы общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения неоднородного уравнения, т.е.

Решим сначала однородное уравнение

.

Составим и решим характеристическое уравнение

Так как корни характеристического уравнения действительные и разные, то общее решение будет иметь вид

.

Частное решение неоднородного уравнения будем искать в виде .

В нашем случае так как встречается один раз среди корней характеристического уравнения.

Итак, , где это многочлен нулевой степени.

( Если то при и т.д.).

Чтобы найти коэффициент А, найдем и подставим в первоначальное уравнение.

;

.

.

Приведя подобные и сократив на , получим

откуда

и частное решение имеет вид .

Общее решение данного уравнения:

Найдем и поставим начальные условия, откуда найдем и .

откуда .

И частное решение будет иметь вид

П р и м е р 6. Расставить пределы интегрирования в двойном интеграле в том и другом порядке, если область задана линиями и вычислить площадь этой области.

Решение. Строим область :

Площадь плоской области с помощью двойного интеграла вычисляется по формуле

.

Расставим пределы интегрирования в том и другом порядке. Переменная изменяется от 0 до 1, в это время изменяется от прямой до параболы , так как прямая, параллельная оси ОУ, пересекает сначала прямую (нижний предел), а затем параболу (верхний предел). При изменении порядка интегрирования область придется разбить на две области ₁ и ₂ прямой, параллельной оси , так как правая часть контура области состоит из двух линий, определяемых разными уравнениями и

Следовательно,

( кв.ед.)

П р и м е р 7. Вычислить криволинейный интеграл ,

где АВ–дуга параболы от т.А( ) до т.В ( ).

Решение. Изобразим кривую, вдоль которой ведется интегрирование:

Вычисление криволинейного интеграла сведем к вычислению определенного интеграла по формуле

= .

Так как АВ–дуга параболы, заданной уравнением от т.А( ) до т.В ( ), то , а переменная меняется в пределах от 1 до 2. Следовательно,

= = =

В О П Р О С Ы для подготовки к экзамену

Неопределенный и определенный интеграл

1 Первообразная функции и неопределенный интеграл.

2 Основные свойства неопределенного интеграла.

3 Таблица основных формул и правил интегрирования.

4 Основные методы интегрирования: непосредственное, замена переменной и по частям.

5 Интегрирование рациональных дробей.

6 Интегрирование тригонометрических выражений.

7 Интегрирование некоторых иррациональностей.

8 Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла.

9 Определенный интеграл и его основные свойства.

10 Интеграл с переменным верхним пределом. Производная интеграла по его переменному верхнему пределу.

11 Формула Ньютона-Лейбница.

12 Замена переменной в определенном интеграле, интегрирование по частям.

13 Несобственные интегралы с бесконечными пределами интегрирования и от неограниченных функций.

14 Приложение определенных интегралов к решению задач геометрии:

а) Вычисление площадей плоских фигур в прямоугольной системе координат.

б) Вычисление площадей плоских фигур в полярной системе координат.

в) Вычисление длины дуги кривой: в прямоугольной системе координат, в полярной системе координат, кривой, заданной параметрическим уравнением.

г) Вычисление объемов пространственных тел.

д) Вычисление площади поверхности вращения.

15 Приложение определенного интеграла к решению задач физики, механики:

а)вычисление работы, определение координат центра тяжести и моментов;

б)инерции плоской линии и плоской фигуры.

Дифференциальные уравнения

16 Дифференциальные уравнения I порядка. Основные понятия (определение, общее и частное решения, начальные условия), геометрическое истолкование основных понятий.

17 Теорема о существовании и единственности решения дифференциального уравнения I порядка ( формулировка).

18 Дифференциальные уравнения I порядка с разделяющимися переменными,

однородные дифференциальные уравнения I порядка.

19 Линейные дифференциальные уравнения I порядка.

20 Дифференциальные уравнения II порядка. Основные понятия. Теорема существования и единственности решения дифференциального уравнения II порядка.

21 Дифференциальные уравнения II порядка, допускающие понижение порядка

(

22 Линейные дифференциальные уравнения II порядка, теорема о структуре общего решения.

23 Линейные неоднородные дифференциальные уравнения II порядка, теорема о структуре общего решения.

24 Решение линейных однородных дифференциальных уравнения II порядка с постоянными коэффициентами.

25 Решение линейных неоднородных дифференциальных уравнений II порядка с постоянными коэффициентами и специальной правой частью.

26 Системы дифференциальных уравнений. Решение нормальной линейной системы дифференциальных уравнений методом исключения.

Кратные и криволинейные интегралы

27 Двойной интеграл. Определение, свойства двойного интеграла, геометрический смысл.

28 Двукратный интеграл, вычисление двойного интеграла с помощью двукратного.

29 Вычисление площади плоской фигуры и объемов цилиндрических тел с помощью двойного интеграла.

30 Замена переменных в двойном интеграле. Двойной интеграл в полярных координатах.

31 Вычисление площади поверхности, моментов инерции, статических моментов и координат центра тяжести плоских областей с помощью двойного интеграла.

32 Тройной интеграл: определение, механический смысл, свойства.

33 Вычисление тройного интеграла с помощью трехкратного интеграла.

34 Тройной интеграл в цилиндрических и сферических координатах.

35 Геометрические и механические приложения тройного интеграла.

36 Криволинейный интеграл I рода, определение, свойства, вычисление.

37 Криволинейный интеграл II рода, определение, свойства, вычисление.

38 Геометрические и механические приложения криволинейного интеграла.

39 Формула Грина.

40 Комплексные числа. Алгебраическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в алгебраической форме. Изображение комплексных чисел на комплексной плоскости. Модуль и аргумент комплексного числа.

41Тригонометрическая форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в тригонометрической форме: возведение в степень и извлечение корня n-й степени из комплексного числа.

42 Формула Эйлера. Показательная форма комплексного числа. Действия над комплексными числами в показательной форме.