Практическое занятие №6
Задание 1. Для следующих булевых функций найдите их полином Жегалкина:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Задание 2. Выясните, верны ли следующие равенства, отыскав полиномы Жегалкина, представляющие булевы функции в обеих частях этого равенства:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Задание 3. Докажите, что все следующие булевы функции линейны:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Задание 4. Докажите, что в каждой паре одна из булевых функций двойственна другой:
а)
,
;
б)
,
;
в)
,
;
г)
,
;
д)
,
;
е)
,
;
ж)
,
;
з)
,
;
и)
,
;
к)
,
;
л)
,
.
Задание 5. Докажите, что следующие булевы функции самодвойственны:
а)
;
б)
;
в)
;
г) ;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Практическое занятие №7
Задание 1. Докажите монотонность следующих булевых функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
.
Задание 2. Выясните, какие из следующих булевых функций монотонны:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Задание 3. Исследуйте на полноту системы булевых функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
,
где
.
Задание 4. Исследуйте на полноту следующие системы булевых функций:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Минимальная полная система функций (т.е. полная система функций, удаление из которой любой функции делает систему неполной) называется базисом. Булева функция, являющаяся базисом из одного элемента, называется обобщённой функцией Шеффера.
Задание 5. Докажите, что следующие системы булевых функций являются базисами:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м)
.
Задание 6. Из полной системы булевых функций выделите всевозможные базисы:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
;
е)
;
ж)
;
з)
;
и)
;
к)
;
л)
;
м) .
Практическое занятие №8
Аксиомы:
(A1):
;
(A2):
;
(A3):
.
Задание 1. Среди следующих формул укажите те, которые являются аксиомами:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
;
д) 
;
е) 
;
ж) 
;
з) 
;
и) 
;
к) 
;
л) 
;
м) 
;
н) 
.
Задание 2. Укажите недостающую формулу W так, чтобы третья из данных формул получалась из первой и второй формул по правилу вывода MP:
а) 
,
,
;
б) 
,
,
;
в)
,
,
;
г) 
,
,
;
д) 
,
,
;
е)
,
,
;
ж) 
,
,
;
з) , , ;
и) 
,
,
.
Задание 3. Является ли данная последовательность формул выводом из аксиом. Если является, то обоснуйте каждый шаг построения этой последовательности. Если не является, докажите это.
а) (1) ;
(2) 
;
(3) 
.
б) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
.
в) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
.
г) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
.
д) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
;
(4)
;
(5) 
;
(6) 
;
(7) 
.
е) (1) 
;
(2) 
;
(3) .
ж) (1) 
.
Задание 4. Докажите, что следующие формулы являются теоремами, построив последовательности формул, являющиеся выводами данных формул из аксиом:
а) ;
б) ;
в) 
;
г) ;
д) 
;
е) 
;
ж) ;
з) 
;
и) 
;
к) ;
л) 
.
Задание 5. Выясните, является ли данная последовательность выводом из гипотез. Если да, то укажите, выводом из каких формул и каких гипотез является. Если нет, то объясните почему.
а) (1) 
;
(2) ;
(3) 
;
(4) 
;
(5) 
.
б) (1) ;
(2) 
;
(3) 
;
(4) 
;
(5) 
.
в) (1) ;
(2) ;
(3) .
г) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
;
(4) ;
(5) .
д) (1) ;
(2) 
;
(3) 
;
(4) 
;
(5) 
;
(6) 
;
(7) 
;
(8) 
;
(9) .
е) (1) 
;
(2) 
;
(3) 
;
(4) ;
(5) ;
(6) ;
(7) .
ж) (1) ;
(2) 
;
(3) ;
(4) ;
(5) .
з) (1) ;
(2) ;
(3) 
;
(4) 
;
(5) .
Задание 6. Докажите, что имеют место следующие выводимости, построив соответствующие выводы из гипотез:
а) 
,
;
б) 
;
в)
,
;
г) 
;
д)
,
;
е)
,
,
;
ж) , , ;
з)
,
;
и) , ;
к)
,
,
;
л)
,
;
м) 
;
н) 
;
о) 
;
п)
,
;
р)
,
;
с) 
,
;
т) 
;
у) 
;
ф) 
;
х) 
;
ц) 
;
ч) 
;
ш) 
;
щ)
,
.