Дифференцируемость функции

Нахождение производной функции называется ее дифференцированием.

Если функция в точке х имеет конечную производную, то функция называется дифференцируемой в этой точке. Функция, дифференцируемая во всех точках промежутка X, называется дифференцируемой на этом промежутке.

Теорема о зависимости между непрерывностью и днфференцируемостью функции: если функция дифференцируема в точке, то она в этой точке непрерывна.

Без доказательства.

Замечание: обратное утверждение в общем случае не является верным, т.е. если функция непрерывна в данной точке, то она не обязательно в ней дифференцируема. Непрерывность функции является необходимым, но не достаточным условием ее дифференцируемости.

Приведем пример функции, которая, являясь непрерывной в точке х = 0, при этом недифференцируема в этой точке. На рисунке 3.2 представлен график функции у = |х|. Она непрерывна в точке х = 0. Производная функция (если она существует) равна . Последний предел не существует, так как односторонние пределы в этой точке не совпадают ( ). Следовательно, производная в точке х = 0 не существует (геометрически это означает отсутствие касательной к кривой в точке х = 0).

Схема вычисления производной

Схема нахождения производной функции у = f(х) включает следующие этапы:

1. Дают аргументу х приращение х  0 и находят значение функции у = f(х + х).

2. Находят приращение функции у = f(х + х) - f(х).

3. Составляют отношение у/х.

4. Находят его предел при х  0 (если этот предел существует).

Рассмотрим эти этапы на примере функции у = х³. Чтобы найти ее производную, дадим аргументу приращение х  0 и найдем у = f(х + х) = = (х + х)³ = х³ + 3х²х + 3хх² + х³. Затем найдем приращение функции у = f(х + х) - f(х) = f(х + х) - х³ = 3х²х + 3хх² + х³ = х (3х² + 3хх + + х²). Составим отношение у/х = 3х² + 3хх + х². Найдем его предел .

Можно доказать, что для любого n (xⁿ)` = nx^n-1.

Основные правила дифференцирования

Рассмотрим их без доказательства.

1. Производная постоянной равна нулю, т.е. с' = 0 (это очевидно, так как любое приращение постоянной функции равно нулю).

2. Производная аргумента равна 1, т.е. х` = 1 (правило следует из формулы для производной степенной функции).

3. Производная алгебраической суммы конечного числа дифференцируемых функций равна сумме производных этих функций: (u + v)' = u' + v'.

4. Производная произведения двух дифференцируемых функций равна произведению производной первого сомножителя на второй плюс произведение первого сомножителя на производную второго: (uv)'=u'v + v'u.

Следствие 1. Постоянный множитель можно выносить за знак производной: (сu)' = сu'.

Следствие 2. Производная произведения нескольких дифференцируемых функций равна сумме произведений производной каждого из сомножителей на все остальные, например: (uvw)' = u'vw + uv'w + + uvw'.

5. Производная частного двух дифференцируемых функций может быть найдена по формуле .

6. Если у = f(u) и u = (х) - дифференцируемые функции от своих аргументов, то производная сложной функции у = f([(х)]) существует и равна производной данной функции по промежуточному аргументу u, умноженной на производную самого промежуточного аргумента по независимой переменной х: y` = f `(u)*u`.

7. Для дифференцируемой функции с производной, не равной нулю, производная обратной функции равна обратной величине производной данной функции: .

Проиллюстрируем последнее правило на примере взаимно обратных функций, производные которых мы уже знаем. Возьмем степенную функцию y = x³, y` = 3x². Такую же производную можно получить, если воспользоваться обратной функцией. В самом деле, . По правилу .