Графики основных элементарных функций
См. Кремер, стр. 129-131.
Представим ряд свойств основных элементарных функций в виде таблицы 1.
Таблица 1 – Свойства основных элементарных функций
Функция |
Область определения |
Область значений |
Четность, нечетность |
Монотонность |
Период |
I. Степенная функция |
|||||
1. y = xn, n N |
]-; + [ |
для нечетных n ]-; +[; для четных n [0; +[ |
для нечетных n нечетная; для четных n четная |
для нечетных n возрастает на ]-; +[ (на всей области определения); для четных n убывает на ]-; 0], возрастает на [0; +[ |
- |
2. y = x-n, n N |
]-; 0[ ]0; +[ |
для нечетных n ]-; 0[ ]0; +[; для четных n ]0; +[ |
для нечетных n убывает на ]-; 0[, возрастает на ]0; +[; для четных n возрастает на ]-; 0[, убывает на ]0; +[ |
||
3.
n > 1 |
для нечетных n ]-; +[; для четных n [0; +[ |
для нечетных n ]-; +[; для четных n [0; +[ |
для нечетных n нечетная; для четных n общего вида |
возрастает для нечетных n; для четных n на [0; +[ на всей области определения |
|
II. Показательная (экспоненциальная) функция |
|||||
4. y = ax, a > 0, a 1 |
]-; + [ |
]0; + [ |
общего вида |
для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]-; +[ (на всей области определения) |
- |
III. Логарифмическая функция |
|||||
5. y = logax, a > 0, a 1 |
]0; + [ |
]-; + [ |
общего вида |
для a > 1 возрастает, для a < 1 убывает на ]0; +[ (на всей области определения) |
- |
,
n
N,
IV. Тригонометрические функции |
|||||
6. y = cos x |
]-; + [ |
[-1; + 1] |
четная |
возрастает на [- + 2n; 2n], убывает на [2n; + 2n], n Z |
2 |
7. y = sin x |
нечетная |
возрастает на [-/2 + 2n; /2 + 2n], убывает на [/2 + 2n; 3/2 + 2n], n Z |
|||
8. y = tg x |
]-/2 + n; /2 + n[, n Z |
]-; + [ |
возрастает на всей области определения |
|
|
9. y = ctg x |
]n; + n[, n Z |
убывает на всей области определения |
|||
V. Обратные тригонометрические функции |
|||||
10. y = = arcsin x |
[-1; 1] |
[-/2; /2] |
нечетная |
возрастает на всей области определения |
- |
11. y = =arccos x |
[0; ] |
общего вида |
убывает на всей области определения |
||
12. y = = arctg x |
]-; + [ |
]-/2; /2[ |
нечетная |
возрастает на всей области определения |
|
13. y = = arcctg x |
]0; [ |
общего вида |
убывает на всей области определения |
Элементарные функции – это функции, которые могут быть получены из основных элементарных функций с помощью конечного числа алгебраических действий (сложения, вычитания, умножения и деления) и конечного числа композиций функций.
Например, функция y = х2 + lg sin х является элементарной, так как она получена путем сложения функций и образования сложной функции. Пример неэлементарной функции у= |х|.
1 Вещественные, или действительные числа — математические объекты, введенные для представления и сравнения значений физических величин (такое число может быть интуитивно представлено как описывающее положение точки на прямой). Включают в себя рациональные и иррациональные числа. Иррациональное число — это вещественное число, которое не является рациональным, то есть не может быть получено путем деления целого числа на натуральное (например, 2).
2 То значение, которое не включают в интервал, часто обозначают по-другому, а именно, берут в круглую скобку, т.е. интервал записывают в виде (a; b). Недостатком такого обозначения является возможность неправильно понять запись (a; b), как координаты точки в двумерном пространстве. Поэтому здесь и далее концы интервалов и полуинтервалов будем брать в квадратные скобки, но те значения, которые в них не включаются, будем брать в скобки, повернутые наружу.
3 Под термином "период" подразумевается наименьший положительный период функции, равный 2; любой период функции у = sin х равен 2n, где n Z.