Формулы средних квадратических ошибок для разных видов выборки

Формулы средних квадратических (стандартных) ошибок различаются для разных видов выборки.

1. Формулы средних квадратических ошибок простой случайной выборки представлены в табл. 8.1.

Таблица 8.1

Формулы стандартных простой случайной ошибок выборки

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя
Доля

где σ² - дисперсия признака в генеральной совокупности;

n - численность выборки;

N - численность генеральной совокупности.

При достаточно большом N величина . Поэтому стандартная ошибка выборки может определяться по упрощенным формулам. Например:

.

Величина всегда меньше единицы, поэтому сопоставление приведенных формул свидетельствует о том, что применение бесповторного отбора обеспечивает меньшую ошибку выборки.

В случаях, когда численность генеральной совокупности (N) велика, величина будет близка к единице и ей можно пренебречь и стандартную ошибку выборки определяют по формуле простой случайной повторной выборки.

2. Формулы стандартных ошибок типической выборки зависят от способа размещения единиц по типическим группам (табл. 8.2 и 8.3).

Таблица 8.2

Формулы стандартных ошибок типической выборки при пропорциональном размещении единиц по типическим группам

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя
Доля

Где: k - число выделенных типических групп;

- доля единиц в i-й типической группе;

- средняя из внутригрупповых дисперсий:

,

где - дисперсия в i-й типической группе;

- число единиц в i-й типической группе.

Таблица 8.3

Формулы стандартных ошибок типической выборки при оптимальном размещении единиц по типическим группам

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя
Доля

Где: - число единиц генеральной совокупности в i-й типической группе.

3. Формулы стандартных ошибок серийной выборки при равновеликих сериях приведены в табл. 8.4.

Таблица 8.4

Формулы стандартных ошибок серийной выборки при равновеликих сериях

Оцениваемый параметр	Повторная выборка	Бесповторная выборка
Средняя
Доля

Где: k - число отобранных серий;

K - число серий в генеральной совокупности;

- межсерийная дисперсия;

- общая средняя (средняя из средних серий);

- межсерийная (межгрупповая) дисперсия доли;

- доля признака в i-й серии;

- доля признака во всей выборке.

Доверительный интервал для генеральной доли находится по формуле:

.

.

Если для вычисления стандартной ошибки выборочной доли необходимо знать генеральную долю, то генеральная доля заменяется оценкой - выборочной долей.

Пример.

Для определения среднего срока пользования краткосрочным кредитом в банке была произведена 5%-я механическая выборка, в которую попали 200 счетов. По результатам выборки установлено, что средний срок пользования кредитом составляет 60 дней при среднеквадратическом отклонении 20 дней. В 8 счетах срок пользования кредитом превышал б месяцев. Необходимо с вероятностью 0,99 определить пределы, в которых находится доля краткосрочных кредитов со сроком пользования более полугода.

По итогам выборки определяем долю кредитов со сроком пользования более полугода:

Средняя ошибка доли:

Предельная ошибка доли:

Δ = tμ =2.58 -0,014 0,036, или 3,6%.

Таким образом, доля кредитов со сроком пользования более полугода в генеральной совокупности находится в пределах ω ±3,6%:

4% -3,6% 4% +3,6%.

С вероятностью 0,99 можно гарантировать, что доля кредитов со сроком пользования более полугода составляет от 0,4 до 7,6% общего числа кредитов.