2. Расчет вероятностей

2.1 Расчет вероятностей исходной системы

Вычисление P (b_j):

Для вычисления вероятности появления события b_j в сложной системе (A, B) воспользуемся следующей формулой:

P(b_j) = P(b_j)*P(b_j|a_i)), (2.1.1)

где P(b_j|a_i) — условная вероятность появления события bj относительно события ai в сложной системе;

P(a_i) — вероятности появления события ai;

P(b_j) — вероятности появления события bj.

Подставив в (2.1.1) данные из (1.1), получим:

P (b1) = 0.470*0.530 + 0.260*0.080 + 0.270*0.060 = 0.286;

P (b2) = 0.470*0.210 + 0.260*0.740 + 0.270*0.110 = 0.321;

P (b3) = 0.470*0.260 + 0.260*0.180 + 0.270*0.830 = 0.393.

Вычисление вероятности совместных событий P (ai,bj):

Для вычисления вероятности совместного появления событий ai и bj в сложной системе (A, B) воспользуемся следующей формулой:

P(a_i,b_j)=P(a_i)*P(b_j|a_i), , (2.1.2)

где P(a_i,b_j) — вероятности совместного появления событий a_i и b_j в сложной системе;

P(a_i) — вероятности появления события a_i;

P(b_j|a_i) — условная вероятность появления события b_j относительно события a_i.

Подставив в (2.1.2) данные из (1.1), получим:

P (a1,b1) = P (a1) * P (b1|a1) = 0.470 * 0.530 = 0.249;

P (a1,b2) = P (a1) * P (b1|a2) = 0.470 * 0.210 = 0.099;

P (a1,b3) = P (a1) * P (b1|a3) = 0.470 * 0.260 = 0.122;

P (a2,b1) = P (a2) * P (b2|a1) = 0.260 * 0.080 = 0.021;

P (a2,b2) = P (a2) * P (b2|a2) = 0.260 * 0.740 = 0.192;

P (a2,b3) = P (a2) * P (b2|a3) = 0.260 * 0.180 = 0.047;

P (a3,b1) = P (a3) * P (b3|a1) = 0.270 * 0.060 = 0.016;

P (a3,b2) = P (a3) * P (b3|a2) = 0.270 * 0.110 = 0.030;

P (a3,b3) = P (a3) * P (b3|a3) = 0.270 * 0.830 = 0.224.

2.2 Расчет вероятности сложной системы

Вычисление условной вероятности P (a_i|b_j):

Для вычисления условной вероятности появления события a_i относительно события b_j в сложной системе (A, B) воспользуемся формулой:

P(a_i|b_j)=P(a_i,b_j)/P(b_j), , (2.2.1)

где P(a_i,b_j) — вероятности совместного появления событий a_i и b_j в сложной системе;

P(b_j) — вероятности появления события b_j;

P(a_i| b_j) — условная вероятность появления события a_i относительно события b_j.

Подставив в (2.2.1) данные из (1.1), получим:

P (a1|b1) = P (a1,b1)/P (b1) = 0.249/0.286 = 0.871;

P (a1|b2) = P (a1,b2)/P (b2) = 0.099/0.321 = 0.308;

P (a1|b3) = P (a1,b3)/P (b3) = 0.122/0.393 = 0.310;

P (a2|b1) = P (a2,b1)/P (b1) = 0.021/0.286 = 0.073;

P (a2|b2) = P (a2,b2)/P (b2) = 0.192/0.321 = 0.598;

P (a2|b3) = P (a2,b3)/P (b3) = 0.047/0.393 = 0.120;

P (a3|b1) = P (a3,b1)/P (b1) = 0.016/0.286 = 0.056;

P (a3|b2) = P (a3,b2)/P (b2) = 0.030/0.321 = 0.093;

P (a3|b3) = P (a3,b3)/P (b3) = 0.224/0.393 = 0.570.

2.3 Проверка по контрольным соотношениям

Считаем, что вектор рассчитан верно, если сумма его элементов равна единице. Это утверждение справедливо и для матрицы P(A,B). В случае матриц P(a_i| b_j)/P( b_j|a_i), единице должна равняться сумма каждого столбца/строки матрицы.

Проверка вектора P(a):

0.470 + 0.260 + 0.270 = 1.000.

Проверка вектора P(b):

0.286 + 0.321 + 0.393 = 1.000.

Проверка матрицы P(A,B):

0.249+0.099+0.122+0.021+0.192+0.047+0.016+0.030+0.224 = 1.000.

Проверка матрицы P(a_i| b_j):

0.871 + 0.073 + 0.056 = 1.000;

0.308 + 0.598 + 0.093 = 0.999;

0.310 + 0.120 + 0.570 = 1.000.

Проверка матрицы P( b_j|a_i):

0.530 + 0.210 + 0.260 = 1.000;

0.080 + 0.740 + 0.180 = 1.000;

0.060 + 0.110 + 0.830 = 1.000.

Погрешность вычислений:

.

Вычисления вероятностей выполнены с погрешностью 0.1%, следовательно, матрица Р(А|В) определена верно.