1.5 Наращивание процентов в условиях инфляции.

Изучение темы начинается с ознакомления с понятиями уровень (темп) и индекс инфляции. Уровень инфляции h показывает на сколько в относительном выражении выросли цены за рассматриваемый период времени: h=S/S, где S - сумма, на которую надо увеличить сумму S для сохранения ее покупательной способности. Индекс же инфляции отвечает на вопрос, во сколько раз увеличились цены за тот же период времени: I_n=(S+S)/S=(1+h). Здесь нужно уметь вычислять годовые уровень h_год и индекс инфляции , если известно месячное значение уровня инфляции:

Далее переходят к рассмотрению собственно наращения процентов в условиях инфляции. Для расчета наращенной суммы используются сложные проценты, а для учета влияния инфляции производится дисконтирование по сложной ставке, равной темпу инфляции. Наращенная сумма вычисляется по формуле

Отсюда видно следующее:

если i=h (доходность вложений и уровень инфляции равны), то S=S₀ , т.е. весь доход поглощается инфляцией; если ih (доходность вложений ниже уровня инфляции), то SS₀, т.е. операция приносит убыток; если ih (доходность вложений выше уровня инфляции), то SS₀, т.е. происходит реальный прирост вложений капитала.

В заключение темы возвращаются к понятиям номинальной и реальной процентных ставок. Выше было дано определение номинальной ставки как годовой ставки, по которой определяется ставка процентов, применяемая на каждом интервале начисления (например, в случае, когда интервал начисления равен одному месяцу).

На самом деле, понятие номинальной ставки используют в более широком смысле, в частности, когда речь идет от учете инфляции.

Номинальной называют ставку, по которой заключено или заключается кредитное соглашение. Пусть требуется, например, найти номинальную банковскую ставку i_Н - некоторую увеличенную ставку процентов, позволяющую компенсировать влияние инфляции.

Обозначим через i_ч реальную банковскую ставку. Реальная сумма выплат означает, что то количество товаров, которое в момент выплаты можно купить на сумму S₀(1+i_ч) 1 год назад можно было купить на сумму S₀(1+i_Н). С учетом инфляции имеем следующее балансовое соотношение для товарных эквивалентов

_ч)

Понятно, что в данной задаче i_ч равна существующей банковской ставке процентов, таким образом

Решая последнее соотношение относительно номинальной ставки, получаем так называемую формулу И. Фишера:

В то же время можно рассмотреть и обратную задачу.

Известно номинальная банковская ставка i_H (ставки, по которой заключено кредитное соглашение, = i_H ). Известен годовой уровень инфляции h. Требуется определить реальную банковскую ставку.

В этом случае балансовое соотношение для товарных эквивалентов примет вид

отсюда

Возвращаясь к формуле И. Фишера, заметим, что величину , которую нужно прибавить к реальной ставке доходности для компенсации инфляционных потерь, называют инфляционной премией.

1.6 Денежные потоки и их использование в инвестиционном анализе

При изучении денежных потоков используют понятия будущей и настоящей стоимости, являющиеся аналогами операций наращивания сложных процентов и дисконтирования:

FV=PV(1+i)ⁿ, PV=FV/(1+(1+i)ⁿ

где i - величина доходности инвестиций;

n - рассматриваемый отрезок времени;

FV - будущая стоимость (future value)

PV - настоящая, текущая, современная стоимость (present value).

Изучение темы начинается с наиболее распространенного денежного потока - аннуитете (annuity). Поток платежей, все члены которого - положительные величины, а временные интервалы между платежами одинаковы, называют финансовой рентой или просто рентой, а иногда аннуитетом. Строго говоря, последнее наименование предполагаем только ежегодные платежи, однако на практике оно применяется более широко - для обозначения любого вида регулярной последовательности платежей.

Сам же ежегодный платеж также называют аннуитетом или рентным платежом.

Заметим, что в 17-19вв. Аннуитетом называли ежегодный платеж - вид государственного займа, по которому кредитор ежегодно получает доход (ренту), включая проценты, в погашение полученного от него государством займа.

В начале рассматривается приток (отток) денежных средств по схеме постнумерандо, имеющий вид:

I₀ a₁ a₂ a₃ a_n

0 1 2 3 n

Здесь I₀ - инвестиция;

a₁, a₂, ..., a_n - потоки платежей (приход или расход) в конце каждого года при i% годовых;

n - рассматриваемый период времени.

Текущая стоимость ряда вкладов постнумерандо будет

Здесь - современная стоимость аннуитета постнумерандо за n лет;

- разовый платеж (payment) в году t.

Рассмотрим случай, когда

а₁= а₂=... а_n=РМТ=а

Тогда ,

где - коэффициент приведения или коэффициент дисконтирования вкладов.

То же самое в новой символике можно записать

- текущая (современная) стоимость аннуитета стоимостью в 1 руб. В конце каждого из n периодов при ставке доходности по уровне i.

Для рассматриваемого потока будущая стоимость аннуитета рассчитывается по формуле

или при равенстве ежегодных платежей

где =[(1+i)-1]/i - будущая стоимость аннуитета в 1 руб в конце каждого периода получения доходов на протяжении n периодов и при ставке процентного дохода на уровне i.

Далее переходят к рассмотрению потока пренумерандо. Схема пренумерандо имеет вид:

I₀

a₁ a₂ a₃ a_n

0 1 2 n-1 n

где а₁, а₂, ..., а_n - потоки платежей (приход или расход) в начале каждого года при i% годовых.

Текущая стоимость ряда вкладов пренумирандо будет

Рассмотрим случай, когда

а₁=а₂= ...= а_n=а=РМТ

Тогда

) или

)

Затем полезно сравнить текущие стоимости аннуитетов, рассчитанные по схеме пост- и пренумерандо.

Далее переходим к рассмотрению других видов денежных потоков. Примером альтернативного аннуитету вложения является перпетуитет (англ. perpetuity - вечность) - банковский текущий (сберегающий) счет, процентный доход начисления. В этом случае возникает ситуация, когда основная сумма как бы «зарабатывает» деньги на предстоящий год, а срок жизни инвестиции неограничен.

В этом случае годовой доход определяется по формуле: РМТ=PVi,

где PV - основная сумма сбережений на банковском счете,

i - процентная ставка дохода, выплачиваемая банком по счетам данного типа.

Последнее соотношение приводит к пониманию логики инвестиционного анализа: если простое помещение денежной суммы PV на сберегательный счет обеспечивает ежегодный доход в сумме РМТ, то нет смысла выделять денежную сумму более величины PV на реализацию инвестиционного проекта, который может обеспечить получение в начале каждого очередного года дохода на уровне РМТ.

Особый случай перпетуитета - инвестиция с неограниченным сроком жизни, но с постоянно возрастающими величинами годового дохода.

Если такой рост происходит с темпом, равным g, а РМТ₁ означает ожидаемую величину денежных поступлений в конце первого года, тогда текущая (современная) стоимость такой «вечной» инвестиции будет

PV=PMT₁/(i-g)

Эту модель называют формулой Гордона.

В дальнейшем переходят к рассмотрению некоторых характеристик денежных потоков, в частности, среднего срока потока платежей. Под средним сроком потоков платежей (например, получения доходов на вложенные капиталы a₁, a₂, ..., a_n в момент t₁, t₂, . . . ,t_n) понимают момент, в который дисконтированная сумма всех платежей равняется сумме дисконтированных стоимостей всех платежей. По определению:

(*)

Используя биномиальное разложение, получим:

Отбрасывая член, содержащий i², и упрощая соотношение (*), получаем:

a₁(1-t₁i)+ a₂(1-t₂i)+. . .+ a_n(1-t_ni)=( a₁+ a₂+. . . + a_n)(1-t_ai)

или

a₁t₁i+ a₂t₂i+ . . .+ a_nt_ni = ( a₁+ a₂+. . . + a_n)t_ai

Отсюда t_a= (a₁t₁+ a₂t₂+ . . .+ a_nt_n)/( a₁+ a₂+. . . + a_n)

Далее при изложении материала будет использоваться понятие годового чистого денежного потока R, который по определению равен:

R=(РП-С-А)(1-Н_n)+A, где

РП - выручка от проекта;

С - затраты (кроме амортизационных отчислений);

А - амортизационные отчисления;

Н_n - ставка налогообложения прибыли.

Денежные потоки используются при расчете эффективности инвестиционных проектов. Прежде чем переходить к рассмотрению этого вопроса, необходимо напомнить слушателям известное им из курса «Экономика фирмы» характеристики эффективности инвестиционных проектов. К ним относятся: абсолютная эффективность; срок окупаемости дополнительных капитальных вложений; коэффициент сравнительной эффективности дополнительных капитальных вложений; приведенные затраты.

Проект принимается, если его абсолютная или сравнительная эффективность выше нормативной, а срок окупаемости ниже нормативного. Из рассматриваемых вариантов выбирается проект с наименьшими приведенными затратами. Здесь следует разъяснить рыночный смысл приведенных затрат как минимальной «цены производства». В рыночной экономике формула расчета приведенных затрат П3 имеет вид:

П3=С+iК,

где С - себестоимость продукции после реализации проекта;

К - объем капитальных вложений;

i - ставка ссудного процента.

Добавленная к себестоимости величина iК представляет собой либо упущенную выгоду (если капитальные вложения осуществляются за счет собственных ресурсов), либо - проценты за кредит (если для реализации инвестиционного проекта взят кредит, равный объему капитальных вложений).

Затем переходят к рассмотрению характеристик эффективности инвестиционных проектов, используемых в рыночной экономике. Это - внутренний уровень доходности, чистая современная стоимость проекта период окупаемости инвестиций и их рентабельность.

Внутренний уровень доходности (ВУД) определяется как ставка i, при которой вложенные инвестиции I₀ были бы равны сумме дисконтированных чистых потоков R_t от эксплуатации проекта в каждом году t:

В международной символике ВУД обозначается аббревиатурой IIR - Internal Rate of Return.

Чистая современная (текущая) стоимость ЧСС проекта или международной символике NPV - Net Present Value представляет собой разность между суммой дисконтированных чистых денежных потоков от реализации проекта и вложенной инвестицией:

сопоставляя это выражение с приведенным выше, убеждаемся, что внутренний уровень доходности - такая процентная ставка, при которой разность между суммой дисконтированных доходов и начальной инвестицией равна нулю.

Если инвестиции рассредоточены во времени, то формула для расчета NPV имеет вид

Период окупаемости инвестиций рассчитывается по формуле:

,

где РР - период окупаемости, лет (payback period);

I₀ - первоначальная инвестиция (investment);

- среднегодовой, чистый денежный поток.

И, наконец, рентабельность инвестиций оценивают по формуле:

Здесь PI - рентабельность инвестиций, доли (profitability index).

Проект принимается, если NPV0 или если IRR или PI больше заданных барьерных коэффициентов.

Затем переходят к более подробному рассмотрению характеристик, используемых для оценки эффективности инвестиционных проектов, в частности, периода окупаемости инвестиционного проекта. Одно из определений этого периода было дано выше: период окупаемости инвестиций рассчитывается как частное от деления инвестиции на среднегодовой чистый денежный поток от реализации проекта.

В соответствии со вторым определением за момент окупаемости проекта принимается момент времени, в который накопленная сумма денежных поступлений от реализации проекта начинает превосходить величину инвестиции.

Пусть, например, I₀=600 млн. руб., а R₁=100; R₂=150; R₃=200; R₄=300; R₅=350 млн. руб. - соответствующие чистые денежные потоки. Убеждаемся в том, что млн. руб. превышаем I₀. В то же время млн. руб.I₀. Это означает, что срок окупаемости проекта не превышает четырех лет. Для нахождения точного значения периода окупаемости составляют балансовое соотношение:

100+150+300х=600, где х - отрезок времени (в долях), приходящийся за четвертый год эксплуатации проекта, в который завершается его окупаемость.

Находим, что Х=0,5 года, а если период окупаемости проекта равен РР=3,5 года.

Можно осуществлять расчет периода окупаемости с учетом операции дисконтирования. Полезно убедиться в том, что использование этой процедуры приводит к удлинению периода окупаемости.

Кроме того полезно убедиться, что период окупаемости имеет прямую связь с используемым значением ставки дисконтирования.

Покажем, например, что проект с пятилетним сроком окупаемости и десятилетним сроком жизни предполагает значение ставки дисконтирования на уровне15%. Действительно, пятилетний период окупаемости означает, что ежегодные денежные поступления должны составлять не менее 20% от суммы первоначальных инвестиций, т.е. на каждые 100 руб. инвестиций получаем в год не менее 20 руб. денежных поступлений. Имеем балансовое соотношение:

100=20PVA1_{10 лет, i%}

или

PVA1_{10 лет,i%}=5

По таблицам текущей стоимости аннуитета стоимостью в 1 руб. находим, что последнее равенство выполняется при i=15%. При этом наиболее близкая к 5 величина PVA1_{10 лет, i%}

равна 5,019.

Напомним, что величина, обратная сроку окупаемости, называется коэффициентом эффективности инвестиций Е. в то же время коэффициент эффективности равен отношению среднегодового чистого денежного потока к начальным капитальным вложениям. Таким образом:

Можно показать, что коэффициент эффективности проекта при длительных сроках его эксплуатации приближается к внутреннему уровню доходности.

Рассмотрим денежный поток постнумерандо для случая равных чистых денежных потоков, т.е. для случая когда R₁= R₂=. . . R_n= R_.

Ранее было получено соотношение:

Здесь i - ставки дисконтирования, равная внутреннему уровню доходности проекта.

Отсюда:

Переходя к пределу, имеем

Но

Тогда

Таким образом, величина, обратная среднему сроку окупаемости (коэффициент эффективности капитальных вложений) при длительных сроках эксплуатации проекта приближается к внутреннему уровню доходности.

Необходимо уяснить также зависимость чистой современной стоимости от ставки дисконтирования. Действительно:

Отсюда при и при .

Далее переходят к более подробному рассмотрению внутреннего уровня доходности. Нужно уметь рассчитывать внутренний уровень доходности как при непостоянных, так и постоянных потоках доходов и расходов. В первом случае в этих расчетах используется средний срок потока платежей.

Действительно, пусть Р₁, Р₂, . . . , Р_n - доходы в моменты t₁, t₂, . . . , t_n, a C₁, C₂, . . . , C_k - расходы в моменты t₁, t₂, . . . , t_k. По определению ВУД:

Используя определение среднего срока потока платежей, можно записать:

(Р₁+ Р₂+. . . + Р_n) =( С₁+ С₂+ . . +С_к)

или

(Р₁+ Р₂+. . . + Р_n)/ ( С₁+ С₂+ . . +С_к)=

Отсюда получаем формулу для расчета ВУД (IIR):

IRR=i=

Во втором случае для расчета ВУД используют соотношение I₀=RPVA1_n,IRR.

Отсюда PVA1_n,IRR=I₀/R

Далее по таблицам современной стоимости аннуитета находят ближайшие к I₀/R величины современной стоимости такие, что

Затем, зная i₁ и i₂ , а также соответствующие величины современных стоимостей, прибегая к линейной интерполяции можно вычислить IIR.

Далее переходят к обсуждению вопросов, связанных с выбором лучшего из двух альтернативных проектов. Основное внимание здесь уделяется использованию критерия NPV.

При анализе двух проектов А и В с одинаковыми сроками жизни рассчитывают NPV_А и NPV_B. Тогда отдают предпочтение проекту А.

Если же зависимость NPV_А=f₁(i) и NPV_В=f₂(i) в некоторой точке F и до этой точки NPV_АNPV_В , а после нее NPV_А NPV_В, причем абсцисса т. F равна i_F, то нежно величину i_F сравнить со значением выбранной барьерной ставки HR (англ. hardle rate) - стандартного уровня желаемой рентабельности вложений. Далее, если i_FHR, то предпочтение отдается проекту А, в противном случае - проекту В. Заметим, что точку F называют точкой Фишера.

Следует усвоить, что критерий NPV для сравнения проектов можно использовать только при равной продолжительности их жизни. Если сроки жизни проектов различны, то нужно либо приводить их к одинаковой продолжительности, повторив каждый проект соответствующее число раз, либо воспользоваться эквивалентными аннуитетами ЕА (equivalent annuity).

Эквивалентный аннуитет - это уровневый (стандартный) аннуитет, который имеет ту же продолжительность, что и оцениваемый инвестиционный проект PV, что и NPV этого проекта.

В формуле для расчета PV величина PV заменяется на NPV, а PMT заменяется на ЕА и записывается соотношение:

ЕА=NPV/PVA1_n,i

проект, у которого ЕА окажется наибольшим, будет обеспечивать и наибольшую величину NPV всех денежных поступлений.

Тему заканчивают рассмотрением метода затратной эффективности. Здесь изучается случай взаимоисключающих инвестиций, которые не сопровождаются (во всяком случае, непосредственно) денежными поступлениями.

При решении задач данного типа пользуются эквивалентными годовыми расходами ЕАС (equivalent annual charge), рассчитываемые по формуле для определения эквивалентного аннуитета. Варианту, обеспечивающему минимальные расходы и отдается предпочтение.