2.7. Теорема Кронекера-Капелли

Вопрос о совместности системы линейных уравнений полностью решается теоремой Кронекера-Капелли, но для ее формулировки нам потребуется новое понятие - ранг матрицы.

Пусть дана матрица

Выберем в ней произвольные строк и столбцов. Элементы, стоящие на пересечении этих строк и столбцов, образуют квадратную матрицу порядка , определитель которой называется  минором -го порядка  матрицы . Нас будут интересовать порядки тех миноров, которые отличны от нуля, а именно наибольший по размерам из этих миноров. При этом полезно учитывать следующее замечание, если все миноры -го порядка матрица равны нулю, то равны нулю и все миноры большего порядка.

Наибольший порядок отличных от нуля миноров называется рангом матрицы.

Рассмотрим систему линейных уравнений (2.26). Составим для нее расширенную матрицу :

Теорема 2.2. (Кронекера-Капелли). Система линейных уравнений (2.26) тогда и только тогда совместна, когда ранг расширенной матрицы равен рангу матрицы коэффициентов системы  (2.26). 

Эта теорема полностью отвечает на вопрос о совместности системы. Вопрос же о количестве решений совместной системы линейных уравнений решается следующим утверждением:

 совместная система (2.26) тогда и только тогда имеет единственное решение, когда ранг матрицы равен числу неизвестных.

2.8. Обратная матрица

Ранее мы видели, что найти решение системы можно, используя обратную матрицу. Обратные матрицы нужны так же и при решении матричных уравнений, имеющих вид:

,

где , ,

Изложим два способа вычисления обратной матрицы: первый из них даст ответ на вопрос о существовании обратной матрицы, второй является более эффективным с точки зрения вычислений.

Рассмотрим квадратную матрицу , имеющую порядок

 Союзной  по отношению к матрице называется матрица  , которая строится следующим образом: сначала каждый элемент матрицы заменяется его алгебраическим дополнением, а затем полученная матрица транспонируется.

Теорема 2.3. Квадратная матрица  тогда и только тогда имеет обратную, когда ее определитель не равен нулю  ( ),  при этом

1

Доказательство. Проведем его на примере матрицы третьего порядка. Покажем, что

.

Имеем:

Элементы последней матрицы, не лежащие на главной диагонали, являются суммами произведений элементов какой-то строки матрицы на алгебраические дополнения элементов какой-то другой ее строки. Ранее было показано, что такие суммы равны нулю. Диагональные же элементы являются разложением определителя матрицы по элементам соответствующей строки, а потому они равны определителю матрицы . Деля эту матрицу на (а делить можно тогда и только тогда, когда ) получим единичную матрицу. Так как союзная матрица отличается от обратной только множителем, то из существования обратной матрицы следует и существование союзной и, следовательно, в этом случае . Теорема доказана.

Пример 2.11. Найти матрицу, обратную к матрице , если

.

Решение. , следовательно обратная матрица существует. Вычислим алгебраические дополнения:

Тогда союзной будет матрица

,

а обратной – матрица

Для проверки правильности вычислений можно полученную матрицу умножить на исходную. Мы оставляем это читателю.

Рассмотрим другой метод вычисления обратной матрицы, использующий преобразования, применявшиеся нами при вычислении определителей и при решении систем линейных уравнений. Итак, вычислим обратную матрицу, используя схему метода Гаусса.

Для вычисления матрицы, обратной матрице (2.33), рассмотрим матрицу  , состоящую из двух частей, одна из которых это матрица а другая - единичная матрица того же порядка:

Теперь, используя схему последовательных исключений Гаусса, преобразуем матрицу  так, чтобы в левой ее части получилась единичная матрица, тогда в правой части будет стоять матрица, обратная к . Преобразовывая матрицу  , мы можем умножать все элементы строки матрицы  на одно и то же число и складывать соответствующие элементы двух строк.

Строку матрицы , умноженную каждый раз на свое конкретное число, будем складывать с каждой другой строкой (кроме нее самой) матрицы . Так поступим с каждой строкой матрицы .

Мы оставляем не доказанным тот факт, что изложенный алгоритм действительно даст обратную матрицу, заметим только, что этот факт следует из свойств операции умножения матриц.

Пример 2.12. Найти матрицу, обратную к матрице

Матрица будет иметь вид:

Умножим элементы первой строки матрицы на (-89/102) и прибавим получившиеся значения к соответствующим элементам второй строки; затем умножим первую строку матрицы на (-449/102) и сложим с третьей строкой. Первую строку разделим на 102. В результате матрица превратится в матрицу :

Умножим элементы второй строки матрицы на (-0.87255/4.34314) и прибавим их к соответствующим элементам первой строки; затем вторую строку из умножим на (-9.22550/4.34314) и сложим с третьей её строкой. Вторую строку матрицы разделим на 4.34314, получим матрицу :

Умножим третью строку из на (-2.54853/4.92331) и сложим с первой её строкой. Умножим третью строку на (-2.12415/4.92331) и сложим со второй. Разделим третью строку на 4.92331, получим матрицу :

 

После округлении до тысячных получаем: