Тема индексы

Индекс в переводе на русский язык с латинского означает показатель.

В статистике под индексом понимается относительный показатель, характеризующий изменение уровней какого-либо социально-экономического явления во времени или соотношение его уровней в пространстве.

Индексами пользуются для решения различных задач:

1. изучения общественных явлений в их изменениях и во времени, и в пространстве;

2. изучения показателей выполнения плана;

3. анализа влияния сдвигов в ассортименте и структуре индексного набора и для некоторых других целей.

При помощи индексов можно характеризовать изменение самых различных показателей:

изменение размеров посевных площадей; цен; урожайности; объема выпускаемой продукции; себестоимости; производительности труда; заработной платы и т.д.

При всем своем многообразии эти показатели можно подразделить на две группы:

1. одни показатели являются объемными, суммарными (это объем выпускаемой продукции, размер посевных площадей, численность работающих и т.п.). Все они выражаются абсолютными числами.

2. Другие представляют собой показатели, рассчитанные на какую-то единицу (показатели цен, себестоимости, урожайности, производительности труда, заработной плиты и т.п.). Их условно можно называть качественными. Эти показатели обычно выражаются в виде средних величин. Исходя из указанного деления индексы первой группы можно назвать индексами количественных (объемных) показателей, а вторую группу – индексами качественных показателей.

Индексы могут отражать изменение во времени и пространстве как отдельных, единичных, простых показателей (изменение объема производства чугуна и стали, электроэнергии и т.п.), так и одноименных показателей по сложным совокупностям (например, изменение объема производства продукции всей промышленности).

Индексы первою рода называются индивидуальными, индексы второго рода – общими.

Обычно для обозначения индексируемых величин пользуются следующей символикой:

Q -количество (объем) какого-либо продукта;

с или z - себестоимость единицы изделия;

р - цена единицы продукции;

t - затраты времени на единицу продукции;

w - выработка продукции в единицу времени;

II - посевная площадь;

у - урожайность отдельных культур и т.д.

Чтобы различать, к какому периоду относятся индексируемые величины, возле символа внизу ставятся подстрочные знаки. Например, если сравнивается продукция 1999 г. с продукцией 1995г., то первая обозначается через q₁, а вторая через q₀.

Исходя из принятых обозначений индексируемых величин, легко записать для различных показателей индивидуальные индексы, обычно обозначаемые через i. Так, индивидуальный индекс объема производства выражается как

; индекс цен - ; индекс себестоимости - и т.д.

Общие же индексы обозначаются символом I и рассчитываются сложнее. Общие индексы делятся на тотальные - охватывающие всю совокупность (например, продукция всей промышленности) и групповые - охватывающие часть совокупности (например, продукция отдельной отрасли промышленности).

При оценке сложного явления мы не всегда можем суммировать отдельные его элементы, т.к. они не всегда однородны.

Например, если нас интересует динамика количества реализованных товаров, то нельзя просто сложить кг хлеба, метры ткани, пары обуви.

При определении скидного индекса совокупности, состоящей из несуммируемых элементов, возникает задача отыскания общей меры соотношения отдельных элементов явления, т.е. отыскания таких соотношений, которые можно было бы просуммировать и сопоставить.

Эта проблема построения сводных индексов решается 2-мя путями:

1. Необходимо отыскать общий уровень явления (общий объем производства в стоимостной форме, суммарные затраты на производство) и сопоставить эти уровни.

2. Необходимо отыскать индивидуальные индексы отдельных элементов явлений и затем осреднить их.

Сводные индексы, построенные первым методом, называются агрегатными индексами.

Агрегатным индексом называется общий индекс, полученный путем сопоставления итогов, выражающих величину сложного показателя в отчетном и базисном периодах при помощи соизмерителей - весов.

Отличительной особенностью любого агрегатного индекса является то, что в числителе и знаменателе его фигурирует сумма произведений двух показателей, один из которых меняется, т.е. выступает в роли индексируемой величины, а второй остается неизменным, т.е. выступает в роли соизмерителя.

Существенной особенностью агрегатных индексов является то, что разность между числителем и знаменателем характеризует в абсолютном выражении изменение сложного показателя за счет изменения индексируемой величины.

а) агрегатные индексы объемных показателей стоятся по общему правилу путем соотношения объемных показателей за 2 периода. Объемные показатели образуют совокупности, элементы которых поддаются непосредственному суммированию (стоимость различных товаров, затраты на производство различных видов товаров и др. - можно суммировать).

Агрегатные индексы этих показателей выражают отношение общего объема явлений в отчетном периоде к общему объему явления в базисном периоде.

; т.к. , тогда ;

; т.к. , тогда ;

; т.к. , тогда ;

б) агрегатные индексы количественных показателей;

Количественные показатели в натуральном виде могут быть соизмеримы (численность работников, количество посевных площадей, число отработанных часов и т.д.) и несоизмеримы, т.e. не суммируемы.

В 1-м случае агрегатные индексы количественных показателей строятся по соотношению общего размера данных суммируемых количественных показателей в отчетном и базисном периодах.

Например: ; , и т.д.

Во 2-ом случае возникает проблема приведения их к соизмеримому виду, т.е. необходимо перейти от совокупности элементов, непосредственно поддающихся суммированию, к другой совокупности, элементы которой уже можно суммировать.

Так, нельзя суммировать количество произведенной продукции, но можно просуммировать:

а) затраты на их производство - Σqz;

б) стоимость произведенной продукции - Σqp;

в) затраты времени на производство продукции - Σqt.

Таким образом, соизмеримость достигается путем умножения количественного показателя на качественный показатель - соизмеритель (z, p, t) другими словами, путем перехода от количественного показателя к объемному.

Выбор соизмерителя в каждом конкретном случае определяется задачами исследования.

Для примера рассмотрим индекс физического объема.

Индекс физического объема необходимо построить таким образом, чтобы он отражал изменение только одного показателя - количества продукции. Для этого необходимо исключить влияние изменения цены (принцип элиминирования).

Это можно сделать, оценив продукцию в отчетном и базисном периодах по ценам одного и того же периода:

а) либо по ценам базисного периода: ;

б) либо по ценам отчетного периода: .

Исключение влияния соизмерителя, т.е. количественного показателя, является обязательным условием и основным правилом построения агрегатного индекса количественного показателя, в частности, индекса физического объема.

В практике экономической работы соизмерители, выраженные качественными показателями (z, p, t и т.д.) чаще всего фиксируются на уровне базисного периода (это требование экономической логики и взаимосвязи индексов). То есть:

; ; .

в) агрегатные индексы качественных показателей;

Качественные показатели всегда характеризуют интервал уровня явления в расчете на единицу совокупности и неразрывно связаны с ее натуральной формой и количественным выражением. Так, цена, например, всегда связана с натуральной формой продукта - ценой 1 кг хлеба и т.п.

Поэтому все качественные показатели не поддаются непосредственному суммированию, а значит, и при построении общих (агрегатных) индексов качественных показателей необходимо учитывать вес отдельных элементов в формировании общих уровней, т.е. решить проблему взвешивания.

Правила построения агрегатных индексов качественных показателей

Правило 1. При построении агрегатных индексов качественных показателей в качестве весов выступают те количественные показатели, в расчете на единицу которых исчисляются эти качественные показатели

.

Правило 2. Исключение влияния веса, т.е. элиминирование влияния изменения весов достигается фиксированием веса в числителе и знаменателе индекса на одинаковом уровне.

Тогда, например, индекс цены (Ip) можно определить по формулам:

или

При построении агрегатных индексов качественных показателей возникает третья проблема: на каждом уровне необходимо фиксировать вес?

Ответ на этот вопрос определяют из практической значимости каждого из индексов, т.е. какой же из результатов имеет большее практическое значение.

Предпочтение отлается индексу с весами (q), зафиксированными на уровне отчетного периода, т.к. именно по этому индексу можно исчислять реальный эффект от изменения качественного показателя (как разность числителя и знаменателя). Из этого вытекает правило 3.

Правило 3. При построении агрегатных индексов качественных показателей веса обычно фиксируются на уровне отчетного периода.

Средние индексы (общие индексы как средние из индивидуальных)

Агрегатная форма индекса является основной формой общих индексов в статистике. Но в ряде случаев по состоянию первичного материала нельзя использовать агрегатный индекс. В этих случаях применяют средние индексы: средний арифметический или средний гармонический, являющиеся, как это будет показано, выводными из агрегатного индекса.

Как мы уже знаем, индивидуальный индекс физического объема товарооборота выражается формулой:

.

Откуда .

Если мы в формуле агрегатного индекса физического объема товарооборота в числителе величину q₁заменим равной ей величиной i_qq₀, то мы получим следующую формулу: - среднеарифметический индекс физического объема.

Из формулы индивидуального индекса цен – можно определить величину р_о она будет равна: . Если мы в формуле агрегатного индекса цен: в знаменателе величину р₀ заменим величиной , то получим формулу , которую легко преобразовать в следующий вид: . Это и есть формула среднего гармонического индекса цен.

Средний гармонический индекс находит широкое применение при расчетах индексов цены в торговле, т.к. в розничной торговле как правило нет учета количества проданных товаров, но известны обороты по продаже товаров в отчетном периоде и изменение цен на группы товаров.

Взаимосвязь индексов

Многие статистические показатели взаимосвязаны, и эта взаимосвязь, в частности, проявляется в том, что некоторые из них представляют собой произведение других.

Например, товарооборот является произведением количества реализованной продукции на цену; валовый сбор той или иной культуры - произведение урожайности на площадь и т.д.

Связи и зависимости между отдельными экономическими явлениями, отражающиеся в связях и зависимостях между статистическими показателями, отражаются в связи и зависимости между индексами этих показателей.

Например, существует связь между Ip, Iq и Iтоварооборота, Iy, In и Iвалового сбора.

Такого рода связь между отдельными индексами имеет место в пределах системы взаимосвязанных индексов.

Рассмотрим на примере общего индекса товарооборота. Умножим индекс физического объема товарооборота на индекс цен:

,

т.е индекс стоимости товарооборота равен произведению индекса физического объема товарооборота и индекса цен, что определяется экономической зависимостью между количеством проданных товаров, уровнем цен и общей стоимостью товарооборота.

Аналогично взаимосвязь между индексами урожайности, посевной плошали и валовою сбора можно записать в виде следующего равенства:

т.е. произведение индекса качественного показателя на индекс количественного показателя дает индекс объемного показателя.

Разложение абсолютного прироста по факторам

Индексный метод широко применяется не только для определения относительного изменения не суммируемых совокупностей, но и для выявления роли отдельных факторов в динамике какого-то сложного явления. Эти факторы выступают как множители совокупного результата. Например, динамика затрат обусловлена совместным изменением количества выпускаемой продукции и себестоимостью единицы изделия.

Абсолютное изменение затрат за счет двух факторов вместе есть разность между числителем и знаменателем общего индекса затрат:

;

;

;

;

.

Абсолютный прирост затрат за счет изменения только себестоимости есть разность между числителем и знаменателем общего индекса себестоимости:

; .

Абсолютный прирост затрат только за счет изменения количества выпускаемой продукции есть разность между числителем и знаменателем общего индекса физического объема:

;

Индексы физического объема и индексы себестоимости выступают как аналитические индексы или как измерители роли отдельных факторов в общей динамике затрат. А для этого они должны быть связаны в систему взаимосвязанных индексов:

;

.

Индексы средних величин

Для анализа динамики средних величин применяются индексы переменного состава, постоянного состава и структурных сдвигов.

Средние величины изменяются под влиянием двух факторов:

а) под влиянием изменения значения признака;

б) под влиянием изменения структуры выпуска или структуры реализации продукции.

, ;

	1 завод	2 завод
P1=5,0	100 q1	200 q2
P2=3,0	300 q1	200 q2

а) индекс переменного состава:

;

характеризует динамику средних величин за счет изменения двух факторов вместе.

1. за счет изменения признака;

2. за счет изменения структуры: .

б) индекс постоянного состава:

;

характеризует динамику средних величин за счет изменения только одного фактора – за счет изменения значения признака.

в) индекс структурных сдвигов:

;

характеризует динамику средних величин только за счет изменения структурных сдвигов.

Индексы средних величин рассчитываются только для однокачественной совокупности, т.е. только для однородной продукции.

Между этими тремя индексами существует взаимосвязь:

Iпер.сост. = Iпост.сост. * Iструкт.сдвигов.

Показатели вариации

В статистической практике для изучения и измерения вариации используются различные показатели (меры) вариации в зависимости от поставленных перед исследователем задач. К ним относятся размах вариации, среднее линейное отклонение, средний квадрат отклонений (дисперсия), среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Способы вычисления показателей вариации. Размах вариации (R) является наиболее простым измерителем вариации признака

,

где – наибольшее значение варьирующего признака;

– наименьшее значение признака.

Среднее линейное отклонение ( ) представляет собой среднюю величину из отклонений вариантов признака от их средней.

– невзвешенное среднее линейное отклонение.

Показатели дисперсии и среднего квадратического отклонения являются общепринятыми мерами вариации и широко используются в статистических исследованиях.

Дисперсия представляет собой средний квадрат отклонений индивидуальных значений признака от их средней величины.

– невзвешенная;

– взвешенная.

Среднее квадратическое отклонение представляет собой корень второй степени из среднего квадрата отклонений отдельных значений признака от их средней.

Для целей сравнения колеблемости различных признаков в одной и той же совокупности или же при сравнении колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях вычисляются относительные показатели вариации. Базой для сравнения служит средняя арифметическая.

Различают следующие относительные показатели вариации ( ):

Коэффициент осцилляции: .

Линейный коэффициент вариации: .

Коэффициент вариации: .

Правило сложения дисперсий. Если данные представлены в виде аналитической группировки, то можно вычислить дисперсию общую, межгрупповую и внутригрупповую.

Общая дисперсия измеряет вариацию признака во всей совокупности под влиянием всех факторов, обусловливающих эту вариацию:

.

Межгрупповая дисперсия характеризует различия в величине изучаемого признака, возникающие под влиянием признака-фактора, положенного в основание группировки. Она рассчитывается по формуле:

,

где и – соответственно средние и численности по отдельным группам.

Внутригрупповая дисперсия отражает часть вариации, происходящую под влиянием неучтенных факторов и не зависящую от признака-фактора, положенного в основание группировки. Она исчисляется следующим образом:

.

Существует закон, связывающий три вида дисперсий. Общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповых дисперсий:

,

где .

Данное соотношение называют правилом сложения дисперсий. Согласно этому правилу общая дисперсия, возникающая под влиянием всех факторов, равна сумме дисперсий, возникающих под влиянием прочих факторов, и дисперсии, возникающей за счёт группировочного признака.