Лабораторна робота № 5 Визначення статистичних оцінок вибірок геологічних даних
МЕТА І ЗАДАЧІ
Метою роботи, яка виконується, є отримання студентами практичних навикiв по обробцi геологiчних даних методами математичної статистики з використанням сучасної обчислювальної технiки.
При виконаннi цiєї роботи перед студентами постає задача провести статистичні оціноки вибірок геологічних даних та дати рекомендацiї для використання результатiв в практичних цiлях.
У процесi виконання роботи студенти повиннi:
- знати властивості оцінок;
- вміти порівнювати оцінки.
ОСНОВНI ТЕОРЕТИЧНI ПОЛОЖЕННЯ
1. Порівняння оцінок
1.1 Визначення
Нехай x1, ..., xn — вибірка , тобто. n незалежних випробувань випадкової величини X, що має функцію розподілу F (x / a), що залежить від параметра a, значення якого невідоме. Потрібно оцінити значення параметра a.
Оцінкою â = (x1, ..., xn) називається функція спостережень, що використовується для наближеного визначення невідомого параметра. Значення â оцінки є випадковою величиною, оскільки (x1, ..., xn) - випадкова величина (багатовимірна).
Властивості оцінок
1. Оцінка â= (x1, ..., xn) називається спроможною, якщо при n â a по ймовірності при будь-якому значенні a.
2. Оцінка â = (x1, ..., xn) називається незміщеною, якщо при будь-якому a Mâ = M(x1, ..., xn) = a.
Спроможність - обов'язкова властивість використовуваних оцінок. Властивість незміщеності є бажаним; багато із застосовуваних оцінок властивістю незміщеності не володіють.
3. Оцінка * називається оптимальною, якщо для неї середній квадрат помилки
M(â- a)2= M[*(x1, ..., xn) - a]2= min M[(x1, ..., xn) - a]2
мінімальний серед всіх оцінок {}; тут критерієм якості оцінки прийнятий квадарт помилки (â - a)2. У більш загальній ситуації, якщо критерієм якості служить деяка величина L(â, a), що називається функцією втрат (або функцією штрафу), то оптимальна оцінка та, для якої мінімальна величина ML(â, a); остання є функцією невідомого a і називається функцією умовного ризику. Ясно, що оптимальної оцінки може не існувати (тому що характеристикою є функція, а не число)
1.2. Постановка конкретної задачі.
Приклад. Нехай на заводі є велика партія із N (тисяч) транзисторів, що використовуються для складання деякого приладу. Вихідні параметри приладу (наприклад, надійність, рівень шуму, імовірність виходу з режиму і т.п.) залежать від зворотних струмів транзисторів; зворотний струм у різних екземплярів різний, і тому можна вважати його випадковою величиною, причому, як відомо технологам, розподіленою рівномірно в діапазоні від 0 до Imax, де Imax – поріг відбраковування, встановлений на заводі-виробнику транзисторів. Отже, вихідні параметри приладу визначаються величиною Imax. Припустимо, що з яких-небудь причин значення Imax. виробнику приладів невідомо. Ясно, що в цьому випадку з партії потрібно випадковим вибором витягти n (порівняно небагато: десятки) транзисторів, виміряти їх струм, і за вимірюваннями оцінити Imax (невідомий параметр а). Таким чином, виникає cтатистична задача: за спостереженням x1, ..., xn над випадковою величиною , розподіленою рівномірно на відрізку [0, a], оцінити невідомий параметр a.
Порівняємо три способи оцінювання (три оцінки):
оцінку, отриману методом моментів,
â1
=
,
(5.1)
оцінку, отриману методом максимальної правдоподібності (після виправлення зміщенння),
â2
=
max
xi
(5.2)
і оцінку, отриману методом порядкових статистик,
â3
= 2
0.5
= x(k)
+ x(k+1),
(5.3)
де
0.5
=
—
вибіркова квантиль порядку 0.5, тобто.
Вибіркова
медіана;
x(k)
– член варіаційного рядй з номером k;
тут
вважаємо
n
= 2k.
Точність
цих оцінок можна порівняти теоретично
й експериментально (статистично).
Зауваження. Точність не є єдиним критерієм якості оцінок. Дуже важливо, наприклад, властивість стійкості оцінки до зміни закону розподілу або до засмічення; в цьому сенсі, як виявляється, â3 — найбільш хороша, а â2 – найменше; дійсно, нехай, наприклад, у нашу вибірку випадково потрапило спостереження, різко перевершує всі інші (у випадку з партією тріодів, попався тріод, що не пройшов відбраковування); значення оцінки â2 різко зміниться, значення â3 майже не зміниться.