Севастопольский институт банковского дела

Украинской академии банковского дела Національного банка Украины

Кафедра финансов и кредита

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА К КОНТРОЛЬНОЙ РАБОТЕ

по дисциплине «Экономико-математическое моделирование. Оптимизационные методы и модели»

Вариант № 7

Выполнил студент 2 курса группы ЗФК-11 __________ Е.А. Морозовская

Зачетная книжка № _______

20.10.2012

Проверил канд. экон. наук, доцент __________ С.А. Хайлук

20.10.2012

Структура и оформление соответствует

требованиям ГОСТ 3008-95 __________ С.А. Хайлук

20.10.2012

Севастополь – 2012

СОДЕРЖАНИЕ

ВВЕДЕНИЕ 3

ЗАДАЧА 1 5

1.1 Постановка задачи 5

1.2 Решение и выводы 5

ЗАДАЧА 2 10

2.1 Постановка задачи 10

2.2 Решение и выводы 10

ЗАДАЧА 3 14

3.1 Постановка задачі 14

3.2 Розв’язання та висновки 14

ЗАДАЧА 4 21

4.1 Постановка задачі 21

4.2 Розв’язання та висновки 21

ВИСНОВКИ 28

ПЕРЕЛІК ПОСИЛАНЬ 29

ВВЕДЕНИЕ

Экономико-математическое моделирование является областью экономической науки, которая изучает основные принципы и инструментарий постановки экономических задач, построения, их математических моделей, методов развязывания и анализа экономических задач с целью использования полученных результатов в экономике.

Экономико-математическое моделирование представляет собой процесс выражения экономических явлений математическими моделями. Экономическая модель – это схематичное представление экономического явления или процесса с использованием научной абстракции, отражение их характерных черт. Математические модели – основное средство решения задач оптимизации любой деятельности. По своей сути эти модели – средство плановых расчетов. Ценность их для экономического анализа и оптимизации решений состоит в том, что они позволяют оценить напряженность плановых заданий, определить лимитирующую группу оборудования, видов ресурсов, получать оценки их дефицитности и т.п. Математическое моделирование экономических явлений и процессов дает возможность получить четкое представление об исследуемом объекте, охарактеризовать и количественно описать его внутреннюю структуру и внешние связи. Модель – условный образ объекта управления.

Экономико-математическая модель должна быть адекватной действительности, отражать существенные стороны и связи изучаемого объекта. Процесс моделирования можно условно подразделить на три этапа: 1) анализ теоретических закономерностей, свойственных изучаемому явлению или процессу и эмпирических данных о его структуре и особенностях; на основе такого анализа формируются модели; 2) определение методов, с помощью которых можно решить задачу; 3) анализ полученных результатов.

Важнейшим моментом первого этапа моделирования является четкая формулировка конечной цели построения модели, а также определение критерия, по которому будут сравниваться различные варианты решения. Такими критериями в системе менеджмента могут быть: а) максимизация полезного эффекта товара при ограничении совокупности затрат; б) максимизация прибыли фирмы при условии, что качество товара не снизится; в) снижение себестоимости товара при условии, что его качество не снизится, затраты у потребителя не увеличатся; г) рост производительности труда, улучшение использования оборудования или материалов, повышение оборачиваемости оборотных средств при условии, что качество товара не снизится и другие критерии не ухудшатся. Таким образом, в качестве критерия оптимизации может быть целое или любой компонент прибыли, эффективности товара, объема рынка при условии, что другие компоненты при этом не ухудшатся.

Целью контрольной работы является изучение методов развязывания разных типов экономических задач.

В контрольной работе рассматриваются основные методы развязывания, анализа и использования задач, с нахождением экстремума функции, такие как метод множителей Лагранжа, графические метод, и транспортная задача.

ЗАДАЧА 1

1.1 Постановка задачи

Решить задачу линейного программирования графическим методом, найти максимум заданной функции при следующих ограничениях:

(max) (1.1)

(1.2)

1.2 Решение и выводы

Заданная экономико-математическая модель является моделью задачи линейного программирования, которая содержит лишь две переменные, и потому может быть решена графически.

Первый шаг согласно графическому методу заключается в геометрическом изображении допустимых планов задачи, то есть в определении такой области, где в то же время выполняются все ограничения модели. Заменим знаки неравенств на знаки строгих равенств и построим графику соответствующих прямых (рис. 1.1). На рисунке графики прямых пронумерованы в соответствии с их порядковым номером в системе ограничений.

Рисунок 1.1 – Геометрическое изображение допустимых планов задачи

Каждая из построенных прямых разделяет плоскость системы координат на две полуплоскости. Координаты точек одной из полуплоскостей удовлетворяют рассматриваемому неравенству, а другой – нет. Чтобы определить необходимую полуплоскость, нужно взять любую точку и проверить, удовлетворяют ли ее координаты отмеченное ограничение. Если удовлетворяют, то полуплоскость, в которой содержится выбранная точка, является геометрическим изображением неравенства. Иначе таким изображением является другая полуплоскость.

Необходимая полуплоскость на изображении выделена серым многоугольником (см. рис.1.1).

Условие неотрицательности переменных х₁ ≥ 0, х₂ ≥ 0 ограничивает область допустимых планов задачи первой полуплоскостью системы координат. Пересечение всех полуплоскостей определяет область допустимых планов задачи – четырехугольник OCAB. Координаты любой его точки удовлетворяют систему ограничений задачи и условие неотрицательности переменных. Поэтому решением задачи будет являться такая точка многоугольника OCAB, в которой целевая функция Z имеет наибольшее значение.

Для этого построим вектор , координатами которого являются коэффициенты при переменных в целевой функции задачи. Вектор всегда выходит из начала координат и направлен к точки с координатами (х₁ = с₁; х₂ = с₂). В нашей задаче вектор

. Он задает направление увеличения значений целевой функции Z, а вектор, противоположный ему, – направление ее уменьшения.

Построим линию, перпендикулярную направляющему вектору N и проходящую через начала координат. Т.к. в данной задаче необходимо определить максимум целевой функции, тогда передвигаем данный перпендикуляр параллельно самому себе по вектора до тех пор, пока не определим вершину многоугольника, которая соответствует оптимальному плану задачи.

Из рис. 1.1 видно, что последней общей точкой прямой целевой функции и многоугольника OCAB является точка А. Координаты этой точки являются оптимальным планом задачи.

Координаты точки А являются решением системы уравнений:

(1.3)

(1.4)

Отсюда имеем: х₁ = 1; х₂ = 4.

Тогда, _.

Проверим правильность решения задачи с помощью MS Excel (см. рис. 1.2-1.6).

Введем начальные условия задачи (рис. 1.2).

Рисунок 1.2 – Вид страницы Excel при определении максимального значения

Для нахождения оптимального решения используем надстройку MS Excel – Поиск решения (рис. 1.3-1.4).

Рисунок 1.3 – Определение целевой ячейки и ограничений.

Рисунок 1.4 – Параметры поиска решения

Результат выполнения надстройки «Поиск решения» в ячейки целевой функции и является найденным решение максимума задачи при заданных ограничениях является, т.е. максимум функции достигается в точке с координатами (1;4) и max Z = 18.

Таким образом, в результате выполнения данного задания была решена задача линейного программирования графическим методом, найден максимум заданной функции при ограничениях. Одним из главных достоинств графического метода является его простота и наглядность, однако он подходит только для количества переменных, не превышающих двух. Так же результат решения задачи был проверен с помощью пакета надстройки «Поиск решения» в MS Excel.

ЗАДАЧА 2