III. Завдання

1. Провести розрахунки коваріаційної матриці прибутків підприємства (дані про прибутки підприємства від різних видів діяльності за попередній рік подані в таблиці 3.1) і встановити обмеження на факторні ознаки.

2. Побудувати і розв’язати економіко-математичну модель прибутковості підприємства з врахуванням ризику.

3. Зробити висновки щодо вибору найменш ризикової стратегії інвестиційних коштів з врахуванням взаємовпливів асортименту продукції.

Таблиця 3.1

Матриця прибутків підприємства від різних видів діяльності за минулий період

Місяці попереднього року	Прибуток від 1 виду діяльності	Прибуток від 2 виду діяльності	Прибуток від 3 виду діяльності	Прибуток від 4 виду діяльності
1	77760+р	79640	46970	4340+р
2	116400	95970	48810	4310
3	150660	112310	55260+р	9110
4	194400	151110+р	61700	13020
5	208980	187860	93020	12150
6	243000	208280	95780	12180
7	277020	220540	102230	11720
8	281880	232790	104070	12150
9	311040	265460	113280	10500+р
10	257580	226660	93940	8680
11	199280+р	159280	66310+р	5880
12	111780	102100	36840	3470
Сума
Середнє значення

р – номер варіанту.

Лабораторна робота №4 Застосування теорії масового обслуговування в матеріально-технічному постачанні для оптимізації матеріальних потоків

I. Загальні положення

Перебіг сучасних економічних процесів у ринковому, випадковому середовищі вимагає для їх моделювання використання стохастичних моделей. А оскільки логістика – це управління потоковими процесами, то природним є використання теорії масового обслуговування для аналізу логістичних моделей і процесів. У лабораторній роботі передбачається вивчення студентами основних методів та алгоритмів теорії масового обслуговування, вивчення теоретичних основ аналізу стохастичних систем з метою використання їх методики та інструментарію в дослідженні економічних об`єктів і процесів.

II. Теоретичні відомості

Існують різні типи систем масового обслуговування. В промисловості, матеріально-технічному постачанні і на транспорті, як правило, використовують системи з очікуванням (основні показники системи - довжина черги, час очікування). В таких системах вимога чекає на обслуговування і системи не покидає, поки вимога не задовольниться.

Якщо кількість об'єктів, що обслуговується - обмежена, то має місце повторне повернення об'єкта в систему з новою вимогою. Такі системи називаються замкнутими (обмеженими), наприклад, гуртівня з обмеженим числом визначених клієнтів, завод-постачальник, до якого прикріплені підприємства-споживачі тощо. Черга в таких системах завжди обмежена.

Якщо число вимог не обмежене, вони поступають неперервно і можливе неповернення вимог повторно в систему, то такі системи називаються розімкнутими (необмеженими).

Вимоги, які поступають в систему, називаються вхідним потоком. Для вивчення найбільше доступний потік, який має закон розподілу Пуасона.

Ймовірність того, що в обслуговуючу систему за час t поступить саме k вимог, обчислюється за формулою

(4.1)

Середнє число вимог, що поступає за час t,

, (4.2)

а середнє число вимог, які поступають в одиницю часу рівне  ( - параметр потоку вимог, що характеризує його інтенсивність).

Зауважимо, що якщо час між вимогами розподіляється згідно показникового закону, то потік вимог - за законом розподілу Пуасона (ці обидва твердження еквівалентні).

Статистично необхідно провести перевірку того, чи потік вимог підлягає закону Пуасона. При цьому можна проводити спостереження або над частотою поступлення вимог в обслуговуючу систему, або над часом, який вільний від вимог. Час обслуговування однієї вимоги - величина випадкова, і може змінюватися в досить великому діапазоні. Закон розподілу часу обслуговування однієї вимоги може бути довільним. Найпростіший випадок спостерігається тоді, коли закон розподілу часу обслуговування і закон розподілу часу надходження вимог на обслуговування збігаються.

Найбільш прості кількісні закони притаманні системам з найпростішим потоком вимог і показниковим законом розподілу часу обслуговування. В цьому випадку час очікування розподілений згідно показникового закону з інтегральною функцією і густиною , де  - параметр часу обслуговування. При цьому середній час обслуговування одної вимоги одним приладом рівний

При цьому відношення означає число вимог, які поступають в систему протягом часу обслуговування одної вимоги (темп приросту черги).

Розглянемо задачу обслуговування n вимог r апаратами.

Розглянемо замкнуту систему, яка придатна для обслуговування n вимог і містить r обслуговуючих пристроїв (каналів обслуговування). Інтенсивність потоку вимог  і час обслуговування Т_обс пропорційні k і r відповідно.

Формули для визначення ймовірності одночасного перебування в системі k вимог (k=1,2,…..n) розбиваються на дві групи залежно від співвідношення між k і r:

• k <= r (k =1,….r). В цьому випадку вимога застає апарат вільним і обслуговується одразу ( ), де 1/  - середній час обслуговування одної вимоги одним апаратом;

• k > r. (k=r+1, r+2,……n). В цьому випадку вимога застає всі апарати зайнятими і стає в чергу ( ).

Отримані рекурентні формули для визначення ймовірності обслуговування або необхідності стати в чергу k вимог виразимо через Р₀. Якщо прирівняємо суму ймовірностей всіх станів системи до 1, отримаємо рівняння для знаходження Р₀. Визначаємо ймовірності всіх станів системи, а також і інші основні числові характеристики системи.

Середнє число обслуговуючих апаратів, які знаходяться в системі обслуговування:

(4.3)

Коефіцієнт простоювання одного обслуговуючого пристрою:

(4.4)

Ймовірність того, що всі обслуговуючі пристрої будуть зайнятими і виникне черга на обслуговування:

(4.5)

Середнє число вимог, які очікують обслуговування (довжина черги):

(4.6)

Коефіцієнт простоювання вимоги в очікуванні обслуговування визначаємо з

(4.7)

Середній час очікування вимогою обслуговування:

(4.8)

Середня кількість вільних каналів обслуговування

(4.9)

а коефіцієнт простоювання обслуговуючого пристрою (каналу) рівний

(4.10)

Допустимо, що закон розподілу випадкової змінної, якій притаманні такі властивості: проміжки часу між двома сусідніми подіями і його середнє квадратичне відхилення рівні , де  - інтенсивність потоку, є експоненціальним, або показниковим.

Середнє число вимог на одиницю часу становить .

І нтенсивність потоку визначається . У випадку , приросту черги не відбувається. Темп приросту черги визначають як відношення

Очевидно, що точно визначити величину черги не можна. Можна визначити тільки ймовірність того, що в момент часу (t) черга буде характеризуватися числом вимог, рівному P_n(t):

,

де Р₀ (t) - ймовірність відсутності черги, Р₁(t) – ймовірність присутності однієї вимоги і т.д. В тих випадках, коли  1, ймовірність відсутності черги (P₀) зазвичай береться з таблиць.

Таблиця 4.1

Основні характеристики системи масового обслуговування

№ п/п	Показник	Формула	Умовні позначення
1.	Середнє число обслужених клієнтів		- темп прибуття клієнтів; - темп обслуговування
2.	Середнє число в черзі		М- кількість каналів обслуговування; -ймовірність знаходження в системі 0 клієнтів
3.	Ймовірність знаходження в системі 0 клієнтів
4.	Середнє число клієнтів в системі
5.	Середній час очікування в черзі
6.	Середній час в системі		- час обслуговування
7.	Завантаження системи