Смешанное произведение векторов и его свойства
Смешанным
произведением векторов 
называется
число 
,
равное скалярному произведению
вектора
на
векторное произведение векторов
и
.
Смешанное произведение обозначается 
.
Геометрические свойства смешанного произведения. Приложение смешанного произведения.
1. Модуль
смешанного произведения некомпланарных
векторов
равен
объему 
параллелепипеда,
построенного на этих векторах.
Произведение
положительно,
если тройка векторов
—
правая, и отрицательно, если тройка
—
левая, и наоборот.
2. Смешанное произведение равно нулю тогда и только тогда, когда векторы компланарны:
векторы
компланарны.
Докажем
первое свойство. Найдем по определению
смешанное произведение: 
,
где 
—
угол между векторами
и 
.
Модуль векторного произведения (по
геометрическому свойству 1) равен
площади 
параллелограмма,
построенного на векторах
и
: .
Поэтому 
.
Алгебраическое значение 
длины
проекции вектора
на
ось, задаваемую вектором
,
равно по модулю высоте 
параллелепипеда,
построенного на векторах
(рис.
1.47). Поэтому модуль смешанного произведения
равен объему 
этого
параллелепипеда:
Знак
смешанного произведения определяется
знаком косинуса угла
.
Если тройка
правая,
то 
и
смешанное произведение
положительно.
Если же тройка
левая,
то 
и
смешанное произведение
отрицательно.
Докажем
второе свойство. Равенство 
возможно
в трех случаях: 
или 
(т.е. 
),или 
(т.е.
вектор
принадлежит
плоскости векторов
и
).
В каждом случае векторы
компланарны
Алгебраические свойства смешанного произведения
1. При перестановке двух множителей смешанное произведение изменяет знак на противоположный:
П
ри
циклической (круговой) перестановке
множителей смешанное произведение не
изменяется:
Выражение смешанного произведения через координаты
Если
векторы
в
правом ортонормированном базисе 
имеют
координаты 
; 
; 
соответственно,
то смешанное произведение этих векторов
находится по формуле
|
, по определению находим:
Различные виды уравнения прямой на плоскости.
1.Уравнение прямой с угловым коэфициэнтом. Определение. Уравнение прямой вида
называется уравнением прямой с угловым коэффициентом, а коэффициент k называется угловым коэффициентом данной прямой.
В декартовых координатах каждая прямая определяется уравнением первой степени и, обратно, каждое уравнение первой степени определяет прямую.
Уравнение вида
называется общим уравнением прямой.
Уравнение 
называется
уравнением прямой с угловым коэффициентом;
k - угловой коэффициент, b - величина
отрезка, который отсекает прямая на оси
Оу, считая от начала координат.
Если прямая задана общим уравнением
,
то ее угловой коэффициент определяется по формуле
.
Уравнение 
является
уравнением прямой, которая проходит
через точку 
(
, 
)
и имеет угловой коэффициент k.
Если
прямая проходит через точки 
(
, 
), 
(
, 
),
то ее угловой коэффициент определяется
по формуле
.
Уравнение
является уравнением прямой, проходящей через две точки ( ,У1 ) и М2( , ).
Если
известны угловые коэффициенты 
и 
двух
прямых, то один из углов 
между
этими прямыми определяется по формуле
.
Признаком параллельности двух прямых является равенство их угловых коэффициентов:
.
Признаком перпендикулярности двух прямых является соотношение
,
или 
.
Иначе говоря, угловые коэффициенты перпендикулярных прямых обратны по абсолютной величине и противоположны по знаку.
Уравнение прямой в отрезка
где a, b - величины отрезков, отсекаемых прямой на осях координат.
Угол между двумя прямыми
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух прямых
или 
или 
Расстояние между параллельными прямыми
Если
прямые заданы уравнениями 
и 
то
Пучок прямых
Если 
-
центр пучка, то уравнение пучка
Расстояние точки A(x1, y1) до прямой Ax + By + C = 0 есть длина перпендикуляра, опущенного из этой точки на прямую. Она определяется по формуле
Окружность.
К
анонические
уравнения
Окружность
радиуса R с
центром в начале координат:
О
кружность
радиуса R с
центром в точке C(a;
b):
О: Общим уравнением кривой 2-го порядка (кр. 2п) называется уравнение II степени относительно текущих координат:
(4.1)
Частным
случаем уравнения кр. 2п является
уравнение окружности (п. 3.1.1):
—
центр; R — радиус.
Эллипс.
Пусть
на плоскости заданы две точки и 
и
дано число a
(a > c).
Эллипс - множество точек M плоскости,
для каждой из которых сумма расстояний
от точек
и
равна 2a.
Точки
и
называются
фокусами эллипса; 
-
большая ось; 
-
малая ось; O -
центр; 
-
левый и правый фокусы; 
-
вершины; 
-
фокальные радиусы;
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Уравнения
директрис: 
Гипербола.
Пусть
на плоскости заданы две точки
и
и
дано число a
(0 < a < c).
Гипербола - множество точек M плоскости,
для каждой из которых модуль разности
расстояний от точек
и
равен 2a.
Точки
и
называются
фокусами гиперболы;
-
действительная ось;
-
мнимая ось; O -
центр;
-
левый и правый фокусы; 
-
вершины;
-
фокальные радиусы: 
Каноническое уравнение:
Эксцентриситет:
Фокальный
параметр: 
У
равнения
директрис:
Уравнения асимптот:
Парабола.
Пусть
на плоскости заданы точка F и
прямая 
,
не проходящая через F.
Парабола - множество всех тех
точек M плоскости,
каждая из которых равноудалена от
точки F и
прямой
.
Точка F называется
фокусом, прямая
-
директрисой параболы; (OF) -
ось, O -
вершина, 
-
параметр, 
-
фокус, 
-
фокальный радиус.
Каноническое
уравнение: 
Эксцентриситет:
Уравнение
директрисы: 
Другие формы канонического уравнения (рис. 4.17):
П
лоскость.
Способы задания плоскости Общее уравнение плоскости (рис. 4.13)
где - нормальный вектор плоскости.
Уравнение плоскости в отрезках
где a, b, c - величины отрезков, отсекаемых плоскостью на осях координат.
Нормальное уравнение плоскости
где 
-
углы, образуемые нормальным вектором
плоскости с осями координат; p -
расстояние от начала координат до
плоскости.
Приведение общего уравнения плоскости к нормальному виду:
Здесь 
-
нормирующий множитель плоскости, знак
которого выбирается противоположным
знаку D,
если 
произвольно,
если D
= 0.
Уравнение
плоскости по трем точкам
В координатах
или
Расстояние от точки до плоскости
Угол между плоскостями
Необходимое и достаточное условие перпендикулярности двух плоскостей
или
Расстояние между параллельными плоскостями
Если
плоскости заданы уравнениями 
и 
,
то
Прямая в плоскости.
С
пособы
задания.
Канонические
уравнения прямой
Уравнения прямой по двум точкам
Прямая как линия пересечения двух плоскостей
Угол между двумя прямыми
Чтобы две прямые были параллельны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были коллинеарны, т.е. их соответствующие координаты были пропорциональны.
Чтобы две прямые были перпендикулярны необходимо и достаточно, чтобы направляющие векторы этих прямых были перпендикулярны, т.е. косинус угла между ними равен нулю.
Углом между прямой и плоскостью называется любой угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость.
В
координатной форме: 
Задачи на прямую и плоскость:
Прямая
пересекает плоскость тогда
и только тогда, когда её направляющий
вектор 
не
ортогонален вектору
нормали 
плоскости.
Из
утверждения следует, что скалярное
произведение вектора
нормали и направляющего вектора
будет отлично
от нуля: 
.
В
координатах условие запишется следующим
образом:
Если
же данные векторы ортогональны,
то есть если их скалярное
произведение равно
нулю: 
,
то прямая либо параллельна плоскости,
либо лежит в ней.
Числовые функции и их свойства.
Числовой функцией называется такое соответствие между числовым множеством Х и множеством R действительных чисел, при котором каждому числу из множества Х сопоставляется единственное число из множества R. Множество Х называют областью определения функции. Функции обозначают буквами f, g, h и др. Если f – функция, заданная на множестве Х, то действительное число у, соответствующее числу х их множества Х, часто обозначают f(x) и пишут у = f(x).Переменную х при этом называют аргументом. Множество чисел вида f(x) называют областью значений функции
Функцию задают при помощи формулы. Например, у = 2х – 2. Если при задании функции с помощью формулы ее область определения не указывается, то полагают, что областью определения функции является область определения выражения f(x).
1. Функция называется монотонной на некотором промежутке А, если она на этом промежутке возрастает или убывает
2.
Функция называется возрастающей на
некотором промежутке А, если для любых
чисел 
их
множества А выполняется условие:
.
График возрастающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку Аординаты точек графика увеличиваются (рис. 4).
3.
Функция называется убывающей на
некотором промежутке А,
если для любых чисел
их
множества А выполняется
условие:
.
График убывающей функции обладает особенностью: при движении вдоль оси абсцисс слева направо по промежутку А ординаты точек графика уменьшаются (рис. 4).
4.
Функция называется четной на
некотором множестве Х, если
выполняется условие:
.
График четной функции симметричен относительно оси ординат (рис. 2).
5.
Функция называется нечетной на
некотором множестве Х, если
выполняется условие:
.
График нечетной функции симметричен относительно начала координат (рис. 2).
6.
Если функция у
= f(x)
определена на множестве Х и существует
такое 
,
что для любого 
справедливо
неравенство
f(x) 
f(x
),то
говорят, что функция у
= f(x)
принимает наименьшее
значение у
= f(x
) при х = x
(рис.
2, функция 
принимает
наименьшее значение в точке с координатами
(0;0)).
7.
Если функция у
= f(x)
определена на множестве Х и существует
такое
,
что для любого
справедливо
неравенствоf(x) 
f(x
),то
говорят, что функция у
= f(x)
принимает наибольшее
значение у
= f(x
) при х = x
(рис.
4, функция не имеет наибольшего и
наименьшего значений).
Если для данной функции у = f(x) изучены все перечисленные свойства, то говорят, что проведено исследование функции.
Пределы.
Число А называетс пределом ф-ии при х стремящемся к ∞ если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех х удовлетворяет неравенство |x|>δ выполняется неравенство |F(x)-A|<E.
Число А называется пределом функции при Х стремящемся к Х0 если для любого Е>0, существует δ (E)>0 такое что при всех Х≠Х0 удовлетворяет неравенство |X-X0|<δ выполняется неравенство |F(x)-A|<E
ОДНОСТОРОННИЕ ПРЕДЕЛЫ.
При определении предел что Х стремится к Х0 произвольным образом, то есть с любой стороны. Когда Х стремится к Х0, так что он всё время меньше Х0, то тогда предел называется пределом в т. Х0 слева. Или левосторонним пределом. Аналогично определяется и правосторонни предел.
Бесконечно малые функции и основные теоремы о них.
Если 
,
то функция f называется бесконечно
малой при x → x0
Теорема 1. Алгебраическая сумма конечного числа бесконечно малых функций есть бесконечно малая функция.
▼Пусть α(х) и ß(х) — две б.м. функции при х→хо. Это значит, что lim α(х)=0, при х→х0 т.е. для любого ε>0, а значит, и ε/2>0 найдется число δ1>0 такое, что для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-х0|<δ1, выполняется неравенство
Пусть δ — наименьшее из чисел δ1 и δ2.Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняются оба неравенства (17.2) и (17.3). Следовательно, имеет место соотношение
Таким
образом
Аналогично проводится доказательство для любого конечного числа б.м. функций.
Теорема 2 Произведение ограниченной функции на бесконечно малую функцию есть функция бесконечно малая.
▼ Пусть функция ƒ(х) ограничена при х→хо. Тогда существует такое число М>0, что
для
всех х из δ1-окрестности
точки хо.
И пусть α(х)—б.м.ф. при х→x0.
Тогда для любого ε >0,
а значит, иε /М>
0 найдется такое число δ2>О,
что при всех х, удовлетворяющих неравенству
0<|х-хо|<δ2,
выполняется неравенство
Обозначим через δ наименьшее из чисел δ1 и δ2. Тогда для всех х, удовлетворяющих неравенству 0<|х-хо|<δ, выполняются оба неравенства (17.4) и (17.5). Следовательно, |ƒ(х)-α(х)|=|ƒ(х)|-|а(х)|<ε.
А это означает, что произведение ƒ(х)•α(х) при х→х0 есть бесконечно малая функция.▲
Следствие 17.1. Так как всякая б.м.ф. ограничена, то из теоремы (17.2) вытекает: произведение двух б.м.ф. есть функция бесконечно малая.
Следствие 17.2. Произведение б.м.ф. на число есть функция бесконечно малая.
Теорема 17.3. Частное от деления бесконечно малой функции на функцию, имеющую отличный от нуля предел, есть функция бесконечно малая.
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).
▼ Пусть 
Следовательно,
т.
е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция
ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е.
является б.м.ф., которую обозначим через
α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲
Теорема 6 (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо
Бесконечно большая функция.
Функция f(x) называется бесконечно большой функцией в точке а (или просто бесконечно большой), если её предел стремится к бесконечности.
Между
бесконечно малыми и бесконечно большими
функциями существует та же связь, что
и между соответствующими последовательностями,
т.е. если α(х) — бесконечно малая функция
при х 
а,
то f(x) = 1/α(х) — бесконечно большая функция,
и наоборот.
Связь между функцией, ее пределом и бесконечно малой функцией
Теорема 5. Если функция ƒ(х) имеем предел, равный А, то ее можно представить как сумму числа А и бесконечно малой функции α(х), т. е. если limƒ(х)=А, при Х→Хо то ƒ(х)=А+а(х).
▼ Пусть
Следовательно, т. е. |ƒ(х)-А-0|<ε. Это означает, что функция ƒ(х)-А имеет предел, равный нулю, т. е. является б.м.ф., которую обозначим через α(х): ƒ(х)-А=α(х). Отсюда ƒ(х)=А+α(х).▲
Теорема 17.6 (обратная). Если функцию ƒ(х) можно представить в виде суммы числа А и бесконечно малой функции α(х), то число А является пределом функции ƒ(х), т. е. если ƒ(х)=А+α(х), то lim ƒ(х)=А при Х→Хо
Основные
теоремы о пределах.
Теорема
2. Если функции f(x)
и g(x) имеют пределы в точке 
,
то:
1) предел алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме пределов слагаемых, т.е.
(2)
2) предел произведения функций равен произведению пределов сомножителей, т.е.
(3)
3)предел частного двух функций равен частному от деления предела делимого на предел делителя, если предел делителя не равен нулю, т.е.
(4)
Теорема о двух милиционерах
Формулируется теорема следующим образом:
Если функция ƒ(х) заключена между двумя функциями φ(х) и g(х), стремящимися к одному и тому же пределу, то она также стремится к этому пределу, т. е. если
то
▼Из равенств (17.6) вытекает, что для любого ε>0 существуют две окрестности δ1 и δ2 точки хо, в одной из которых выполняется неравенство |φ(х)-А|<ε, т. е.
-ε<φ(х)-А<ε, (17.8)
а в другой |g(х)-А|<ε, т. е.
-ε<g(х)-А<ε. (17.9)
Пусть δ — меньшее из чисел δ1 и δ2. Тогда в δ-окрестности точки x0 выполняются оба неравенства (17.8) и (17.9). Из неравенств (17.7) находим, что
φ(x)-A≤f(x)-A≤g(x)-A (17.10)
С учетом неравенств (17.8) и (17.9) из неравенства (17.10) следуют неравенства -ε<ƒ(х)-А<ε или |ƒ(х)-А|<ε. Мы доказали, что
ε>0 δ>0 x: 0<|х-х0|<δ |ƒ(х)-А|<ε, то есть lim ƒ(х)=А при х –> x0.
Первый замечательный предел
При вычислении пределов выражений, содержащих тригонометрические функции, часто используют предел
называемый первым замечательным пределом. Читается: предел отношения синуса к его аргументу равен единице, когда аргумент стремится к нулю. Докажем равенство (17.11).
▼Возьмем круг радиуса 1, обозначим радианную меру угла MOB через х (см. рис. 113).
Пусть 0<х< /2. На рисунке |АМ|=sinx, дуга MB численно равна центральному углу х, |ВС|=tgx. Очевидно, имеем S MOB <SсектораMOB<S COB. На основании соответствующих формул геометрии получаем ½sinx<½x<½tgx. Разделим неравенства на ½sinx>0, получим 1<x/sinx<1/cosx или cosx<sinx/x<1. Так как limcosx=1 и lim1=1 при х–>0, то по признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
Пусть
теперь х < 0. Имеем 
Где –x>0. Поэтому
Второй замечательный предел
Как известно, предел числовой последовательности
nєN, имеет предел, равный е (см. (15.6)):
Докажем, что к числу е стремится и функция
1. Пусть х→+∞. Каждое значение х заключено между двумя положительными целыми числами: n≤х<n+1, где n=[х]— это целая часть х. Отсюда следует
Если х→+∞, то n→∞. Поэтому, согласно (17.14), имеем:
По признаку (о пределе промежуточной функции) существования пределов
2.
Пусть х→-∞. Сделаем подстановку -х= t,
тогда
Из
равенств (17.16) и (17.17) вытекает равенство
(17.15).
Если в равенстве (17.15) положить 1/x=а (а→0 при х→∞), оно запишется в виде
Равенства (17.15) и (17.18) называются вторым замечательным пределом. Они широко используются при вычислении пределов. В приложениях анализа большую роль играет показательная функция с основанием е. Функция у=ех называется экспоненциальной, употребляется также обозначение ех=ехр(х).