ДобПрактичне завдання

Побудова та аналіз простої лінійної економетричної моделі

Мета – закріплення теоретичного матеріалу та здобуття практичних навичок побудови та аналізу однофакторної економетричної моделі й перевірки її адекватності та статистичної значущості, використання побудованої моделі для прогнозування та економічного аналізу.

Зміст завдання – визначити ступінь взаємозв’язку між показниками діяльності банків України, виходячи з припущення про лінійний звязок між факторами, оцінити параметри лінійної моделі, дослідити її адекватність за допомогою коефіцієнтів детермінації та корреляції, перевірити статистичну значущість параметрів моделі і коефіцієнта кореляції за допомогою критерію Стьюдента, та моделі в цілому за допомогою критерію Фішера. Здіснити розрахунок прогнозного значення доходу банку на основі відомого значення факторної ознаки. Побудувати графік лінійної функції.

Зробити висновки щодо економічної інтерпретації отриманої моделі та можливості її практичного застосування.

Методичні рекомендації

Необхідно дослідити залежність роздрібного товарообігу (тис. грн) магазинів від середньосписочного числа працівників (табл. 9).

Товарообіг, що є залежною змінною, позначимо через Y, а середньосписочне число працівників (осіб) як незалежну змінну (фактор) – через X. На обсяг товарообігу також впливають інші фактори (обсяг основних фондів, їхня структура, площі торговельних залів і підсобних приміщень, розташування магазинів стосовно потоків покупців тощо). Припустимо, що в досліджуваній групі магазинів значення цих останніх факторів приблизно однакові, тому вплив різниці й значень на зміни обсягу товарообігу позначається незначно.

Тому досліджуємо вплив у явному виді тільки одного фактору (середньої чисельності працівників) на величину товарообігу. З аналізу реальних даних видно, що зі збільшенням числа працівників товарообіг збільшується. Припустимо, що зв'язок між цими факторами лінійний.

Допоміжні розрахунки для характеристик моделі подані в табл. 9.

Таблиця 9

Вихідні дані завдання й проміжні розрахунки

і	Xі	Yі	Xi = = Xi –	Yi = = Yi –	(Xi)2	Yi×Xi	(Yi)2	^ Yi		^ (Yi)2
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11
Формула			-	-	(4)2	(4)×(5)	(5)2	-	(3) – (9)	(10)2
1	73	0,5	-40	-0,7	1600	28	0,49	0,43	0,07	0,0049
2	85	0,7	-28	-0,5	784	14	0,25	0,661	0,039	0,0015
3	102	0,9	-11	-0,3	121	3,3	0,09	0,998	-0,098	0,0096
4	115	1,1	2	-0,1	4	-0,2	0,01	1,239	-0,139	0,0019
5	122	1,4	9	0,2	81	1,8	0,04	1,373	0,027	0,0007
6	126	1,4	13	0,2	169	2,6	0,04	1,45	-0,05	0,0025
7	134	1,7	21	0,5	441	10,5	0,25	1,604	0,096	0,0092
8	147	1,9	34	0,7	1156	23,8	0,49	1,854	0,046	0,0021
	904	9,6	0	0	4356	83,8	1,66	9,609	- 0,009	0,0324

Середні значення факторів були розраховані як:

Визначимо на основі однокрокового методу найменших квадратів (1МНК) емпіричні коефіцієнти регресії, тобто оцінки параметрів лінійної моделі a₀ й a₁, отримані за результатами спостережень.

Зауважимо, що оцінки параметрів моделі за методом 1МНК є досить чутливими до точності розрахунків та адекватності аналітичної форми моделі. Оскільки вільний член моделі a₀ = – 0,974 ≠ 0, то рівень товарообігу не є строго пропорційним до чисельності працівників. Кількісна оцінка параметра a₁ = 0,01924 показує, що граничне збільшення товарообігу зі зростанням чисельності працівників на 1 особу становить 19 грн 24 коп.

Еластичність товарообігу відносно чисельності працівників визначається коефіцієнтом еластичності:

Таким чином, у разі збільшення чисельності працівників на 1 % роз-дрібний товарообіг гранично зросте на 1,81 %.

Для перевірки гіпотези про те, чи значимо відрізняється від нуля вибірковий коефіцієнт a₁, перевіряємо статистичну значущість цього коефіцієнта, використовуючи критерій Стьюдента, тобто перевіряємо гіпотезу:

Н₀: a_j = 0 для всіх j = 1, 2, …, m

проти відповідних альтернативних гіпотез

Н₁ : a_j ≠ 0 для всіх j = 1, 2, ..., m.:

.

Знаходимо по таблицях розподілу Стьюдента значення tp для числа ступенів свободи k = 8 – 2 = 6, рівня значимості α = 0,05 (tp = 1,943).

Порівнюючи значення |t_a1| й tp, дійдемо висновку, що отримане значення для коефіцієнта a₁ статистично значуще (|17,49| > 1,943), у такий спосіб приймається гіпотеза H₁, що a₁ ≠ 0, тобто зміна чисельності працівників істотно впливає на величину товарообігу.

Рівняння залежності між факторами X й Y буде мати такий вигляд:

Знайдемо інтервальні оцінки параметра a₁:

a₁ – a₁  a₁  a₁ + a₁,

a₁ = tp×_a1.

Для рівня значущості  = 0,05 одержуємо, що з імовірністю 0,95 істинні значення параметра a₁ лежать у таких межах:

0,01924 – 0,00214  a₁  0,01924 + 0,00214,

0,01710  a₁  0,02138.

Проаналізуємо відхилення фактичних даних від теоретичних (нормативних).

Насамперед, необхідно звернути увагу на магазини з негативним відхиленням (3, 4, 6). У реальній ситуації необхідно звернути увагу на причини відхилення фактичного значення товарообігу від вирівняного (теоретичного або нормативного значення). Це можуть бути різні причини (віддаленість магазина від центра, постачання товарами, що користуються слабким попитом тощо).

При чисто статистичному аналізі необхідно зазначити, що на основі аналізу відхилень у магазинів з номерами 1, 2, 5, 7, 8 товарообіг ефективніше, тобто його фактична величина вище теоретичної.

Розрахуємо коефіцієнт детермінації для використовуваної моделі:

Коефіцієнт детермінації показує, що 98 % (R² × 100 %) загальної зміни роздрібного товарообігу пояснюється змінами числа працівників, у той час як на інші фактори доводиться лише 2 % зміни.

Коефіцієнт кореляції є мірою тісноти зязку всіх пояснювальних змінних із залежною і визначається:

Оскільки коефіцієнт кореляції є також вибірковою характеристикою, яка може відхилятись від свого „істинного” значення, значущість цього коефіцієнта також перевіряється за допомогою t-критерію:

Оскільки |t_R| > tp (17,15 > 1,943), то можна зробити висновок про значущість коефіцієнта кореляції між залежною і пояснювальною змінними.

Перевіримо статистичну значущість моделі в цілому за допомогою критерію Фішера. Розрахуємо статистику Фішера за формулою:

.

Розраховане значення статистики Фішера необхідно порівняти з табличним для числа ступенів свободи k₁ = 1, k₂ = 8 – 2 = 6, рівня значущості α = 0,01 (F_0,01 (1;6) = 13,74). Оскільки 294 > 13,74, то приймається гіпотеза, що побудована модель є статистично значущою, тобто звязок між залежною та пояснювальною змінною є істотний.

Оскільки побудована лінійна проста економетрична модель є адекватною і статистично значущою як по окремим параметрам так і в цілому, то отримане рівняння залежності товарообігу від чисельності працівників може бути використане для прогнозу.

Зокрема, нехай планується відкриття магазина такого ж типу із чисельністю працівників Xпр = 140 осіб. Тоді прогнозований товарообіг по рівнянню регресії складе:

Yпр = – 0,974 + 0,01924 × 140 = 1,72 (тис. грн.)

З погляду прийнятих допущень отриманий прогноз є лише точковою оцінкою істинної детермінованої складової Y(X), тому необхідно знайти інтервальні оцінки для отриманого прогнозу, що враховують помилку прогнозу:

Yпр – Yпр  пр  Yпр + Yпр.

Помилку прогнозу Yпр знаходимо відповідно до формули:

Yпр = = 0,095 ,

тоді

1,72 - 0,095  Yпр  1,72 + 0,095, 1,625  Yпр  1,815.

На рис. 3 наведено графік лінійної моделі з довірчими інтервалами, а також фактичні значення результативної ознаки Y.

Рис. 3. Фактичні та теоретичні значення Y і довірчі інтервали