4.2. Логические законы и правила преобразования логических выражений
В алгебре высказываний законы логики записываются в виде формул, которые позволяют проводить эквивалентные преобразования логических выражений.
Закон тождества. Всякое высказывание тождественно самому себе:
A = A.
Закон непротиворечия. Высказывание не может быть одновременно истинным и ложным. Если высказывание Л истинно, то его отрицание не А должно быть ложным. Следовательно, логическое произведение высказывания и его отрицания должно быть ложно:
А & = 0.
Закон исключенного третьего. Высказывание может быть либо истинным, либо ложным, третьего не дано. Это означает, что результат логического сложения высказывания и его отрицания всегда принимает значение «истина»:
А = 1.
Закон двойного отрицания. Если дважды отрицать некоторое высказывание, то в результате мы получим исходное высказывание:
=
А.
Законы де Моргана:
&
.
Закон коммутативности. В алгебре высказываний можно менять местами логические переменные при операциях логического умножения и логического сложения:
Логическое умножение |
Логическое сложение |
А&В = В&А |
АÚВ = АÚВ |
Закон ассоциативности. Если в логическом выражении используется только операция логического умножения или только операция логического сложения, то можно пренебрегать скобками или произвольно их расставлять:
Логическое умножение |
Логическое сложение |
(А&В)&С = А&(В&С) |
(АÚВ)ÚС = АÚ(ВÚС) |
Закон дистрибутивности. В отличие от обычной алгебры, где за скобки можно выносить только общие множители, в алгебре высказываний можно выносить за скобки как общие множители, так и общие слагаемые [14]:
Дистрибутивность умножения относительно сложения |
Дистрибутивность сложения относительно умножения |
ab + ac = a(b + c) – в алгебре (A&B)Ú(A&C) = A&(BÚC) |
(АÚВ)&(AÚC) = АÚ(В&C) |
Рассмотрим в качестве примера применения законов логики преобразование логического выражения. Пусть нам необходимо упростить логическое выражение:
(A&B)Ú(A& ).
Воспользуемся законом дистрибутивности и вынесем за скобки А:
(A&B)Ú(A& ) = A&(BÚ ).
По закону исключенного третьего В Ú В = 1, следовательно:
A&(BÚ ) = A&1 = A.
4.3. Базовые логические элементы
Базовые логические элементы реализуют рассмотренные три основные логические операции:
– логический элемент «И» – логическое умножение;
– логический элемент «ИЛИ» – логическое сложение;
– логический элемент «НЕ» – инверсию.
Логические элементы компьютера оперируют с сигналами, представляющими собой электрические импульсы. На входы логического элемента поступают сигналы-значения аргументов, на выходе появляется сигнал-значение функции.
Логический элемент «И». На входы А и В логического элемента (рис. 1) подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического умножения.
Логический элемент «ИЛИ». На входы А и В логического элемента (рис. 2) подаются два сигнала (00, 01, 10 или 11). На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности операции логического сложения.
Логический элемент «НЕ». На вход А логического элемента (рис. 3) подается сигнал 0 или 1. На выходе получается сигнал 0 или 1 в соответствии с таблицей истинности инверсии.
