Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
лекций мат и лог.doc
Скачиваний:
1
Добавлен:
01.03.2025
Размер:
221.7 Кб
Скачать

Логические функции от двух переменных

Пусть п = 2. Существует 16 различных логических функций от двух переменных. Рассмотрим их подробно:

Аргу-менты

Функции

X1

X2

F1

F2

F3

F4

F5

F6

F7

F8

F9

F10

F11

F12

F13

F14

F15

F16

0

0

0

0

0

0

0

0

0

0

1

1

1

1

1

1

1

1

0

1

0

0

0

0

1

1

1

1

0

0

0

0

1

1

1

1

1

0

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

0

0

1

1

1

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

0

1

F1 — константа 0.

F2 — конъюнкция.

F3 — отрицательные импликации X1 и X2.

F4 — функция, повторяющая переменная X1.

F5 — отрицание импликации X2 и X1.

F6 — переменная X2.

F7 — строгая дизъюнкция или отрицание эквивалентности (неравнозначность) переменных X1 и X2. Значение этой функции получается поразрядным сложением двоичных переменных X1 и X2 по модулю 2, то есть без учета переноса в старший разряд.

F8 — дизъюнкция.

F9 — отрицание дизъюнкции (функция ИЛИ-НЕ); эта функция называется также функцией Пирса («стрелка» Пирс).

F10 — эквивалентность.

F11 — отрицание переменной X2.

F12 — импликация X1 и X2.

F13 — отрицание X1.

F14 —импликация X1 и X2.

F15 — отрицание конъюнкции (функция И-НЕ); эта функция называется также функцией Шеффера («штрих» Шеффера).

F16 — константа 1.

С увеличением числа аргументов количество логических функций резко возрастает. Так, при п = 3 их будет уже 256. Но изучать их все нет никакой необходимости. Дело в том, что функция любого количества переменных может быть выражена через функции только двух переменных. Делается это с помощью приема суперпозиции, состоящего в том, что, во-первых, на место переменных подставляются функции, во-вторых, переменные меняются местами.

Минимальное количество функций двух переменных, через которое можно выразить все другие логические функции, называется функционально полным набором логических функций.

Вот несколько примеров функционально полных наборов:

1) F2 и F11; 2) F13 и F8; 3) F9 и F15.

При желании всю алгебру логики можно свести к одной функции. Но чаще всего логические функции записываются в виде логического выражения через инверсию, конъюнкцию и дизъюнкцию.

Введенные пять логических операций дают возможность из простых высказываний строить сложные. Всякое сложное высказывание принимает значение 1 или 0 в зависимости от значения простых высказываний, из которых оно построено.

Таблицу, показывающую, какие значения принимает сложное высказывание при всех сочетаниях (наборах) значений входящих в него простых высказываний, называют таблицей истинности сложного высказывания. Сложные высказывания часто называют формулами логики высказываний. Для любой формулы алгебры логики достаточно просто построить таблицу истинности.

18