§ 11. Нормальное уравнение плоскости.

Определение. Уравнение плоскости называют нормальным, если ее нормальный вектор является единичным.

П усть в прямоугольной декартовой системе координат задана некоторая плоскость с ее единичным нормальным вектором .

Из начала координат проведем прямую и . Тогда ( ) и . (Если , то )

.

Так как

, то, следовательно,

или .

Поскольку и , то последнее уравнение в координатах принимает вид

. (11.1)

Соотношение (11.1) – нормальное уравнение плоскости .

Нормальное уравнение плоскости можно получить из ее общего уравнения

,

домножив обе его части на нормирующий множитель

. (11.2)

Сравнивая соотношение (11.2) с уравнением (11.1), получаем систему:

. ( 11.3)

Знак числа выбирают из соотношения (противоположным знаку числа ).

Таким образом, получаем общее уравнение плоскости, приведенное к нормальному виду

. (11.3)

Единичный нормальный вектор плоскости имеет координаты

. (11.4)

§ 12. Расстояние от точки до плоскости.

Определение. Расстоянием от точки до плоскости называют длину перпендикуляра, опущенного из этой точки на данную плоскость.

Пусть в системе координат плоскость задана общим уравнением

.

Вектор – нормальный вектор плоскости : и . Расстояние от точки до плоскости равно, очевидно, длине вектора :

,

где – основание перпендикуляра, проведенного из точки к плоскости : . (*)

Тогда ,

а поскольку

,

,

то

.

Таким образом, расстояние от точки до плоскости можно найти по формуле

. (12.1)

Если плоскость задана нормальным уравнением

,

то формула (12.1) принимает вид

. (12.2)