§ 4. Взаимное расположение двух плоскостей в пространстве.
Пусть в пространстве
относительно некоторой аффинной системы
координат
заданы две плоскости
и
общими уравнениями
(4.1)
Как известно, две плоскости и в пространстве относительно друг друга могут занимать одно из трех различных положений:
1)
(
– прямая);
2)
;
3)
.
В
опрос
о взаимном расположении двух плоскостей
сведем к вопросу о количестве их общих
точек, а точнее, к вопросу о количестве
решений системы двух линейных уравнений
с тремя неизвестными.
Введем в рассмотрение
матрицу
коэффициентов при неизвестных системы
(4.1) и расширенную матрицу
этой же системы:
;
.
В соответствии с критерием совместности системы линейных уравнений (теорема Кронекера-Капелли) получаем:
1) Если
,
(4.2)
то система (4.1) совместная и неопределенная. Условия (4.2) равносильны соотношениям
или
или
.
(4.3)
В таком случае система (4.1) имеет две базисных переменных и одну свободную. Это означает, что плоскости и пересекаются по некоторой прямой ( ).
2) Если
,
(4.4)
то система (4.1) несовместна, т.е. решений не имеет. Действительно, в этом случае соотношение (4.4) равносильно условиям
.
(4.5)
Следовательно, плоскости и общих точек не имеют, т.е. они параллельны и не совпадают: .
Если
,
(4.6)
то система (4.1) совместная и неопределенная. Условия (4.6) равносильны соотношениям
.
(4.7)
Это означает, что оба уравнения системы (4.1) определяют одну и ту же плоскость. То есть плоскости и совпадают: ( ).
§ 5. Уравнение прямой, проходящей через точку в данном направлении.
Пусть в аффинной
системе координат
прямая
проходит через точку
и имеет направляющий вектор
.
Тогда
векторы
и
коллинеарны, т.е.
(5.1)
Если
и
– радиус-векторы точек
и
соответственно, то
и (5.1)
или
.
(5.2)
Соотношение (5.2) – векторно-параметрическое уравнение прямой . Записав равенство (5.2) в координатах, получим параметрические уравнения прямой :
(5.3)
Исключая параметр
из уравнений (5.3), получаем канонические
уравнения прямой:
(5.4)
Соотношения (5.4) – условия коллинеарности векторов и в координатах.
Пусть прямая
проходит через две точки
и
.
Взяв в качестве направляющего вектора
этой прямой вектор
,
и в качестве точки
точку
,
из (5.4) получаем уравнения прямой,
проходящей через две точки:
. (5.5)
§ 6. Общие уравнения прямой в пространстве.
В общем случае
прямую
в аффинной системе координат можно
задать как линию пересечения двух
плоскостей
(6.1)
при условии
.
(6.2)
Чтобы записать
канонические уравнения прямой (6.1), нужно
найти какое-нибудь решение
системы (6.1), положив, например,
.
Тогда из (6.1) однозначно определяется
и
(например,
по правилу Крамера).
Вектор
(6.3)
является направляющим вектором этой прямой, так как он не нулевой (условие (6.2)) и компланарен каждой из этих плоскостей. Действительно, используя условие (3.3) компланарности вектора плоскости, получаем
и,
аналогичным образом,
Таким
образом, получаем уравнения прямой
(6.1) в каноническом виде:
.
(6.4)