Раздел 3. Плоскость и прямая в пространстве

§ 1. Уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

Положение плоскости относительно некоторой аффинной системы координат можно определить (задать) различными способами. Каждому такому способу задания будет соответствовать вполне определенное ее уравнение.

Определение. Вектор называют параллельным (принадлежащим) плоскости, если он коллинеарен некоторому вектору, лежащему на прямой этой плоскости.

Пусть в некоторой аффинной системе координат задана плоскость : , где и , и – не коллинеарны.

Пусть точка . Найдем уравнение плоскости .

Тогда векторы – компланарны. , а так как , то или

(1.1)

Соотношение (1.1) называют векторно-параметрическим уравнением плоскости. Покоординатная запись уравнения (1.1) имеет вид

(1.2)

Ее называют параметрическими уравнениями плоскости .

Условие равносильно соотношению , которое в координатах принимает вид

. (1.3)

Равенство (1.3) называют уравнением плоскости, проходящей через точку параллельно двум неколлинеарным векторам.

Замечание. Точку и два неколлинеарных вектора и можно рассматривать как некоторую «внутреннюю» аффинную систему координат в плоскости . В этом аффинном репере координатами произвольной точки плоскости будут значения ее векторно-параметрического уравнения (1.1).

§ 2. Уравнение плоскости, проходящей через три точки. Уравнение плоскости в отрезках.

Пусть относительно общей декартовой системе координат задана плоскость , проходящей через три точки

Так как и , то векторы

и

компланарны. Тогда

Последнее соотношение в координатах имеет вид:

(2.1)

Равенство (2.1) называют уравнением плоскости, проходящей через три точки.

Пусть теперь плоскость проходит через три точки , , ни одна из которых не совпадает с началом координат.

Тогда из (2.1) получаем:

или

(2.2)

Соотношение (2.2) называют уравнением плоскости в отрезках.

§ 3. Общее уравнение плоскости.

Из уравнения (1.3) следует

Пусть Тогда (*)

или

, (3.1)

где

А так как и не коллинеарны, то или или , т.е.

(3.2)

Таким образом, плоскость определяется уравнением первой степени относительно переменных

Справедливо и обратное утверждение.

Теорема 3.1. Всякое уравнение первой степени (3.1) относительно переменных при условии (3.2) определяет в аффинной системе координат некоторую плоскость.

▼ Пусть Тогда уравнение (3.1)

В ведем в рассмотрение два параметра и . Тогда (*)

Получили параметрические уравнения плоскости. Следовательно, уравнение (3.1) при условии (3.2) действительно определяет плоскость. 

Теорема 3.2. Вектор 

(3.3)

▼ Необходимость. Пусть , где , . Тогда и

.

Следовательно

или

Достаточность. (Доказать самостоятельно).



Частные случаи общего уравнения плоскости:

1. 

2. 

3. 

4. 

5. 1º и 2º

6. 1º и 3º

7. 1º и 4º

8. 2º и 3º

9. 3º и 4º

10. 2º и 4º

11. 1º, 2º, 3º

12. 1º, 3º, 4º

13. 1º, 2º, 4º

Определение. Вектор называют главным вектором плоскости (3.1).

Вектор не коллинеарен плоскости .

Действительно, используя теорему 3.2, получаем

Пусть дана прямоугольная система координат , в которой плоскость задана общим уравнением (3.1).

Если вектор коллинеарен плоскости , то

Определение. Всякий ненулевой вектор, перпендикулярный вектору плоскости, называют нормальным вектором плоскости.

Таким образом, в прямоугольной декартовой системе координат главный вектор плоскости является ее нормальным вектором.