2.2 Выборочный коэффициент корреляции

Количественной мерой, учитывающей закономерную (стохастическую) долю колебаний у_i относительно средней Ῡ под влиянием х_i, является коэффициент корреляции. Выборочный коэффициент корреляции вычисляют по формуле

(2.11)

где S_x и S_y – выборочные средние квадратичные отклонения:

(2.12)

(2.13)

Коэффициент корреляции не может быть использован для оценки технологической важности фактора. Его величина указывает только на тесноту связи между переменными, а знак — на характер влияния. Значения коэффициента корреляции могут находиться в пределах –1 ≤ r ≤ 1. Если r < 0, то увеличение х вызывает уменьшение у; при r > 0 наблюдается обратная закономерность. Если |r| = 1, то связь является линейной функциональной, если |r|=0, то корреляционной связи между х и у нет или она нелинейна. Коэффициент корреляции одинаково «реагирует» на разброс экспериментальных точек относительно прямой регрессии и криволинейность зависимости при малом разбросе точек на корреляционном поле. Поэтому визуальный анализ корреляционного поля может дать полезную информацию для объяснения причины получения малого значения коэффициента корреляции.

Если выражение (2.11) преобразовать к виду

(2.14)

и подставить его в формулу (2.9), то получим

(2.15)

Из выражения (2.15) видна непосредственная связь величин r и b₁ знаки которых всегда совпадают. Выражения (2.11), (2.15) и (2.8) составляют «совмещенный» расчетный аппарат для решения преобладающего большинства практических задач, в которых важно нахождение тесноты и вида связи между переменными х и у.

Коэффициент корреляции обычно рассчитывают по ограниченному количеству данных – выборке из генеральной совокупности, вследствие чего он всегда содержит ошибку. Поэтому необходима проверка гипотезы о его статистической значимости, т.е. отличия от нуля генерального коэффициента r*. Для проверки нуль-гипотезы H₀: r* = 0 применяют t-отношение:

(2.16)

где f = n – 2 – число степеней свободы.

Если t_r > t_1-α при заданном уровне значимости α, то нулевая гипотеза отклоняется и принимается альтернативная H₁: r* ≠ 0, т.е. r значимо отличается от нуля. Так, для α = 0,01 и f = ∞ находим t_1-α = 2,58. Таким образом, при t > 2,6 связь между факторами считается не случайной.

2.3 Проверка значимости коэффициентов и адекватности уравнения регрессии

Неотъемлемым элементом регрессионного анализа является статистическая проверка значимости найденных коэффициентов регрессии. Оценку значимости коэффициентов выполняют по критерию Стьюдента. При этом проверяется нуль-гипотеза Н₀: b_j* = 0, т.е. j-й коэффициент регрессии генеральной совокупности при заданном уровне значимости α неотличим от нуля. Если условие:

(2.17)

где b_j – j-й коэффициент регрессии; S_bj – среднее квадратичное отклонение у-го коэффициента: f = n – k – число степеней свободы: k – число учитываемых признаков в уравнении регрессии, выполняется, то нулевая гипотеза принимается. При несоблюдении условия (2.17) принимается альтернативная гипотеза H₁: b_j* ≠ 0. В случае принятия нуль-гипотезы незначимый коэффициент исключается из уравнения регрессии, а величины оставшихся коэффициентов находят заново, так как между ними существует корреляционная зависимость (2.8).

Средние квадратичные ошибки S_bj коэффициентов линейной регрессии для проверки условия (2.17) находят по формулам:

. (2.18)

(2.19)

где S_ост – корень квадратный из остаточной дисперсии или дисперсии у_i относительно линии регрессии.

Остаточную дисперсию вычисляют по формуле:

(2.20)

где – величины, вычисленные по уравнению регрессии; k – число учитываемых признаков в уравнении регрессии (для линейной регрессии k = 2); f = n – k – число степеней свободы. Если коэффициент корреляции r уже вычислен, то при выполнении практических расчетов удобно использовать связь между линейной корреляцией и линейной регрессией. В этом случае для нахождения остаточной дисперсии можно использовать формулу:

(2.21)

Другим важным элементом регрессионного анализа является проверка адекватности уравнения регрессии по критерию Фишера. В этом случае проверяется нуль-гипотеза H₀: , т.е. предполагается, что генеральные дисперсии адекватности и воспроизводимости равны. Поскольку проверка осуществляется путем сравнения выборочных дисперсий, то нуль-гипотеза принимается при выполнении условия:

(2.22)

где – выборочная дисперсия адекватности; – выборочная дисперсия воспроизводимости; f₁ = f_ад – число степеней свободы ; f₂ = f_воспр – число степеней свободы .

При повторении (дублировании) каждого из n опытов m раз дисперсии адекватности и воспроизводимости вычисляют по формулам:

(2.23)

(2.24)

где n – объем выборки; m — число дублирующих опытов; k — число коэффициентов в уравнении регрессии; – значения, вычисленные по уравнению регрессии для x_i, n – k = f₁; n(m – 1) = f₂ . В случае невозможности проведения дублирующих опытов и определения дисперсии воспроизводимости вместо соотношения (2.22) для оценки адекватности уравнения регрессии используют «обратное» отношение дисперсий:

F = s²_y(f₁) / s²_ост(f₂) > F_1-α(f₁, f₂) , (2.25)

где f₁ = n – 1; f₂ = n – k.

В выражении (2.25) s²_ост находят по формулам (2.19)–(2.21), а дисперсию относительно среднего s²_y – по формуле (2.13). Считают, что эффективность уравнения регрессии тем выше, чем больше F превышает F_1-α(f₁, f₂).