3. Системы целых и рациональных чисел

9.Кольцо целых чисел

18. Системой целых чисел называется минимальное кольцо, являющееся расширением полукольца натуральных чисел.

В соответствии с этим определением получаем следующее аксиоматическое построение системы целых чисел.

Первичные термины:

Z – множество целых чисел;

0 – константа;

+,  – бинарные операции на Z;

N – подмножество Z, множество натуральных чисел;

,  – бинарные операции на N.

Аксиомы:

I. Аксиомы кольца.

(Z1) a + (b + c) = (a + b) + c.

(Z2) a + b = b + a.

(Z3) (a) a + 0 = 0 + a = a.

(Z4) (a)((–a)) a + (–a) = (–a) + a = 0.

(Z5) a  (b  c) = (a  b)  c.

(Z6) (a + b)  c = a  c + b  c, c  (a + b) = c  a + b  a.

II. Аксиомы расширения.

(Z7) N, ,  – полукольцо натуральных чисел.

(Z8) N  Z.

(Z9) (a,bN) a + b = a  b.

(Z10) (a,bN) a  b = a  b.

III. Аксиома минимальности.

(Z11) MZ, NM, (a, bM) a – bM  M = Z.

1. Всякое целое число представляется в виде разности двух натуральных чисел.

Доказательство. Пусть М – множество целых чисел, представимых в виде разности двух натуральных. Если n – натуральное, то n = (n + 1) – 1М, следовательно, N  M. Если a, bM, то a = k – l, b = m – n, k, l, m, nN. Следовательно, a – b = = (k + n) – (l + m)M. По аксиоме (Z11) M = Z, и теорема доказана.

В этой теореме раскрывается смысл аксиомы минимальности. Так как разность двух элементов кольца принадлежит кольцу и натуральные числа принадлежат кольцу Z, то разность любых двух натуральных принадлежит Z. Из доказанной теоремы следует, что других чисел в Z нет.

2. Кольцо Z, +,  коммутативно и с единицей.

Доказательство. Имеем:

(k – l)  (m – n) = (km + ln) – (kn + lm);

(m – n)  (k – l) = (mk + nl) – (ml + nk) = (k – l)  (m – n).

Единицей служит единица натуральных чисел:

(k – l)  1 = k1 – l1 = k – l.

3. Для каждого целого числа n выполняется либо nN, либо n = 0, либо –nN.

Доказательство. Теорема следует из теорем 1 и 1.2.5.

4. Кольцо целых чисел можно линейно и строго упо­рядочить, причем единственным способом. Порядок в кольце целых чисел архимедов и продолжает порядок в полукольце натуральных чисел.

Доказательство. Обозначим через Z⁺ множество N. Из теоремы 3 и алгебраичности операций на N следует, что Z⁺ – положи­тельная часть кольца Z, +, . Поэтому кольцо Z, +,  можно линейно упорядочить.

Пусть Z⁺⁺ – какая-нибудь положительная часть этого кольца. Имеем согласно теореме 2.3.3

l = l²Z⁺⁺.

Далее, если n  Z⁺⁺, то и n + 1  Z⁺⁺. Поэтому N  Z⁺⁺, то есть Z⁺ Z⁺⁺. В силу теоремы 2.3.6 Z⁺= Z⁺⁺. Поэтому совпадают и порядки, определенные положительными частями Z⁺и Z⁺⁺.

Пусть теперь a, b  N и a > b в N. По определению порядка в N это значит, что a = b + k, k  N, и a – b = k  N = Z⁺. Значит, a > b в Z, и порядок в Z продолжает соответствующий порядок в N.

Заметим, наконец, что положительными в кольце целых чисел являются только нату­ральные числа – элементы Z⁺. Отсюда следует, что порядок в кольце целых чисел архимедов.

Упражнения

1. Докажите, что уравнение 2х = 1 неразрешимо в Z.

2. Докажите, что уравнение х² = 2у² имеет только нулевое решение в Z.

3. Докажите, что множества Z и N равномощны.

4. Докажите, что аксиомы (Z6) и (Z10) можно вывести из остальных аксиом теории целых чисел.

5. Докажите, что мультипликативную полугруппу целых чисел линейно упорядочить нельзя.