Упражнения

3. Докажите, что сумма положительных элементов линейно и строго упорядоченной полугруппы положительна.

4. Доказать, что всякий элемент линейно и строго упорядо­ченный полугруппы, больший положительного элемента, сам явля­ется положительным.

5. Докажите, что упорядоченная полугруппа линейно упоря­дочена в том и только в том случае, если любое конечное множество ее элементов имеет и только один наибольший элемент.

6. Докажите, что множество положительных элементов ли­нейно упорядоченной группы не пусто.

7. Пусть А, +,  – линейно и строго упорядочен­ная группа. Докажите, что элемент а системы А тогда и только тогда положителен, если а > 0.

8. Докажите, что существует и только один линейный и стро­гий порядок в аддитивной полугруппе натуральных чисел, в кото­ром множество положительных элементов не пусто.

9. Докажите, что мультипликативную полугруппу целых чисел нельзя линейно упорядочить.

8.Упорядоченные кольца

16. Система А, +, ,  называется упорядоченным полукольцом, если

1. система А, +,  – полукольцо;

2. система А, +,  – упорядоченная полугруппа с непустым множеством А⁺ положительных элементов;

3. выполняется монотонность относительно умножения на положительные элементы, то есть если сА⁺ и а  b, то ac  bc, ca  cb.

Положительным элементом упорядоченного полукольца А называ­ется любой положительный элемент упорядоченной полугруппы А, +, .

Упорядоченное полукольцо А, +, ,  называ­ется упорядоченным кольцом (полем), если полукольцо А, +,  – кольцо (соответственно поле).

17. Пусть А, +, ,  – упорядоченное полукольцо. Порядок  системы А называется архимедовым, а система А — архимедовски упорядоченной, если, каковы бы ни были по­ложительные элементы а и b системы А, можно указать такое на­туральное число п, что na  b.

1. Полукольцо натуральных чисел с отношением > (больше) – линейно, строго и архимедовски упорядоченное полукольцо.

Для линейно упорядоченного кольца А, +, , 0,  система А, +, 0,  – линейно упорядоченная группа. Отсюда следует согласно теореме 2.2.7, что порядок  либо строгий, либо нестрогий. Во мно­жестве А можно ввести (упражнения 2.1.5. и 2.1.6) новый линейный порядок, который будет строгим, если порядок  нестрогий, и нестрогим, если порядок  – строгий. В связи с этим замечанием в линейно упорядоченном кольце А обычно рассматривают два бинарных отношения порядка, одно из которых, строгое, обозначают знаком >, а второе, нестро­гое, знаком .

Для дальнейшего полезно напомнить, что в линейно упорядо­ченном кольце элемент а положителен тогда и только тогда, если а > 0 (упражнение 2.2.7).

1. Пусть система А, +, , 0, > – линейно упоря­доченное кольцо. Тогда для любого элемента а из А либо а = 0, либо а > 0, либо –а > 0.

Доказательство. В силу линейности и строгости между элементами а+ а и а имеет место одно и только одно из соотношений a+ a >a, a+ a = a, a+ a < a. В первом случае а – положительный элемент. Во втором прибавляем к обеим частям –а и получаем а = 0. В третьем случае прибавляем к обеим частям –а – а – а и получаем –a < –a – a, откуда –a – положительный элемент.

2. Сумма и произведение положительных элементов линейно упорядоченного кольца положительны.

Доказательство – в качестве упражнения.

3. В линейно упорядоченном кольце квадрат любого ненулевого элемента положителен.

Доказательство – в качестве упражнения.

4. В линейно упорядоченном поле если a > 0, то a^–1 > 0.

Доказательство – в качестве упражнения.

5. (Критерий порядка). Кольцо А, +, , 0 тогда и только тогда можно линейно и строго упорядочить (т. е. ввести линейный и строгий порядок), если множество А имеет подмножест­во А⁺, удовлетворяющее условиям:

1) аА⁺  а  0  –аА⁺;

а  0  аА⁺  –аА⁺;

2) а, bА⁺  а+ bА⁺  аbА⁺.

Доказательство. Пусть сначала А, +, , 0, > – линейно упорядоченное кольцо. В роли искомого подмножества А⁺ в таком случае в силу теорем 1 и 2 может выступить множество положительных элементов системы А.

Пусть теперь А⁺ – подмножество кольца А, +, , 0, удов­летворяю­щее условиям теоремы. Попробуем ввести линейный по­рядок > в кольце А, +, , 0. Определим это отношение так:

а > b  а – b  А⁺.

Легко проверяется, что введенное нами от­ношение связно, антирефлексивно, антисимметрично, транзитивно, монотонно относительно сложения и умножения на любой элемент из А⁺.

Множество А⁺ с упомянутыми в условии теоремы 4 свойст­вами называют положительной частью кольца А, +, , 0. В даль­нейшем при введении порядка в каком-нибудь кольце мы будем искать в нем «положительную часть». Если такая часть в кольце существует, то кольцо можно упорядочить, если нет, то нельзя, если таких несовпадающих положительных частей несколько, то можно упорядочить несколькими способами.

Из сказанного следует, что при определении линейно упорядо­ченного кольца в качестве основного отношения вместо бинарного отношения > можно брать унарное отношение «положительная часть».

6. (Критерий однозначности линейного порядка). Пусть А⁺ и А⁺⁺ – положительные части кольца А, +, , 0. Тогда

А⁺ = А⁺⁺  А⁺ А⁺⁺.

Доказательство. Пусть А⁺ А⁺⁺ и аА⁺⁺. В таком случае а  0. Поэтому аА⁺ или –аА⁺. Во втором случае получаем –аА⁺⁺. Но этого не может быть, так как уже аА⁺⁺.

7. (Критерий продолжения порядка). Пусть А, +, , > и А₁, , , >₁ – линейно упорядочен­ные кольца и А, +,  – подкольцо кольца А₁, , . Пусть А⁺– множество положительных элементов системы А, а А₁⁺– системы А₁. Порядок >₁ тогда и только тогда продолжает порядок >, если А⁺ А₁⁺.

Доказательство. Пусть А⁺ А₁⁺. Если а, b  А и а > b, то а – b  А⁺. Отсюда следует, что а – b  А₁⁺ и a >₁ b.

Пусть a >₁ b. Тогда а  b и a – b  А₁⁺. Если а – b  А⁺, то –(а – b)  А⁺ и, следовательно, – (a – b)  А₁⁺. Но этого нет.

2. (Поле с не единственным архимедовым линейным порядком).

Пусть R – система действительных чисел. Рассмотрим подмножество М множества R, состоящее из чисел вида a + b , где а и b – любые рациональные числа. Можно проверить, что M, +,  – поле. Полагаем:

M⁺ = { a + b a, b  Q, a + b > 0};

M⁺⁺ = { a + b a, b  Q, a – b > 0}.

Легко видеть, что М⁺ и М⁺⁺ – положительные части поля M, +, . А между тем они не совпадают. В архимедовости по­рядков, определяемых с помощью этих частей, убедиться нетрудно.

3. (Поле с неархимедовым линейным порядком).

Рассмотрим поле F = Q(x) – поле частных для кольца многочленов Q[x]. Его элементы представляют собой формальные дроби вида , где f и g – многочлены с рациональными коэффициентами, g  0. Формальность рассмотрения дробей заключается в том, что они рассматриваются не в функциональном аспекте: игнорируются ограничения, накладываемые на область определения.

Введем порядок в поле F указанием положительной части. Пусть F,   0.  имеет вид

,

где a_m и b_n – старшие коэффициенты многочленов в числителе и знаменателе. Полагаем по определению

F⁺  a_mb_n > 0.

Легко проверить, что F⁺ действительно удовлетворяет определению положительной части. Порядок, определенный этой положительной частью, не является архимедовским. Элементы 1 и х положительные, но ни при каком натуральном п условие 1 п > x выполниться не может.