Упражнения

9. Пусть М,  – вполне упорядоченное множество, b  M, с  M. Докажите, что или P_b = Р_с, или P_b  Р_с, или Р_с  P_b.

10. Пусть М, ₁ и L, ₂ – вполне упорядо­ченные множества такие, что M  L = . Во множестве M  L определим бинарное отношение  следующими условиями:

1. если а, b  M, то, a  b  a ₁ b;

2. если а, b  L, то, a  b  a ₂ b;

3. если а M, b L, то, a  b.

Докажите, что система МL,  – вполне упорядоченное множество.

7.Упорядоченные полугруппы

12. Полугруппой называется алгебра А, *, где * – ассоциативная бинарная операция.

13. Полугруппа А, * называется полугруппой с сокращением, если в ней выполняются свойства

a*c = b*c  a = b; c*a = c*b  a = b.

14. Упорядоченной полугруппой называется си­стема А, +, , где:

1) система А, + – полугруппа;

2) система А,  – упорядоченное множество;

3) отношение  монотонно относительно полугрупповой операции, то есть a  b  a + c  b + c, c + a  c + b.

Упорядоченную полугруппу А, +,  называют упорядочен­ной группой, если система А, + – группа.

В соответствии с видами отношения порядка определяются линейно упорядоченная полугруппа, линейно упорядоченная группа, частично упоря­доченная полугруппа, строго упорядоченная полугруппа и т. д.

1. В упорядоченной полугруппе А, +,  неравенства можно складывать, то есть a  b, c  d  a + c  b + d.

Доказательство. Имеем

a  b  a + c  b + c, с  d  b + c  b + d,

откуда по транзитивности a + c  b + d. Теорема доказана.

Упражнение 1. Докажите, что система натуральных чисел – частично упорядоченная полугруппа относительно умножения и отношения делимости.

Легко видеть, что система N, +, > – строго упорядоченная полугруппа, N, +,  – нестрого упорядоченная полугруппа. Можно привести пример такого упорядочивания полугруппы N, +, в которой порядок не является ни строгим, ни нестрогим.

Упражнение 2. Определим порядок  в системе натуральных чисел следующим образом: a  b  a  b  a  1. Докажите, что N, +,  – упорядоченная полугруппа, в которой порядок не является ни строгим, ни нестрогим.

1. Пусть А – множество натуральных, чисел, не равных единице. Определим отношение  в А следующим образом:

a  b  (kN)(a = b + k)  b  3.

Доказать, что система А, +,  – частично и строго упорядоченная полугруппа.

Доказательство. Проверим транзитивность:

a  b, b  c  a = b + k, b  3, b = c + l, c  3  a = c + (k + l), c  3  a  c.

Так как a  b  a > b, то выполняется антирефлексивность. Из упражнения 2.1.1 следует, что  – отношение строгого порядка. Порядок частичный, так как элементы 3 и 4 не находятся ни в каком отношении.

Монотонность отношения  относительно сложения выполняется. Действительно, условие a  b  a + c  b + c могло бы нарушиться, только когда b + c = 3. Но сумма может быть равна 3, так как в можестве А нет единицы.

Группу из двух элементов линейно и строго упорядочить нельзя. В самом деле, пусть 0 и 1 – ее элементы (0 – нуль группы). Предположим, что 1 > 0. Тогда получим 0 = 1 + 1 > 0 + 1 = 1.

2. Всякую линейно упорядоченную по­лугруппу с сокращением можно линейно и строго упорядочить.

Доказательство. Пусть А, +,  – упорядоченная полугруппа. Отношение строгого порядка > определяется, как в упражнении 2.1.5: a > b  a  b  a  b. Покажем, что выполняется условие 3) из определения упорядоченной полугруппы.

a > b  a  b, a  b  a + c  b + c.

Если a + c = b + c то, сокращая, получим a = b, что противоречит условию а > b. Значит, a + c  b + c, и a + c > b + c. Аналогично проверяется вторая часть условия 3), что доказывает теорему.

3. Если А, +,  – линейно и строго упорядо­ченная полугруппа, то:

1) а + с = b + с  a = b  с + a = с + b;

2) а + с  b + с  а  b  с + a  с + b.

Доказательство. Пусть а + с = b + с. Если a  b, то в силу связности а  b или b  a. Но тогда соответственно а + с  b+ с или b + с  a+ с, что противоречит условию а + с = b + с. Аналогично разбираются другие случаи.

Итак, всякая линейно и строго упорядоченная полугруппа – полугруппа с сокращением.

15. Пусть А, +,  – упорядоченная полу­группа. Элемент а множества А называют положительным (отри­цательным), если а + а  а и a + a  а (соответственно а  а + а).

2. Доказать, что элемент упорядоченной коммутативной полугруппы с сокращением, больший положительного элемента, не обязательно положителен.

Решение. Воспользуемся примером 1. Имеем 2 + 2  2, значит, 2 – положительный элемент. 3 = 2 + 1, значит, 3  2. В то же время соотношение 3 + 3  3 не выполняется, значит, 3 не является положительным элементом.

4. Сумма положительных элементов коммута­тивной полугруппы с сокращением положительна.

Доказательство. Если а + а  а и b + b  b, то по теореме 1

а + а + b + b  а + b  (а + b) + (a + b)  а + b.

Остается проверить, что (а + b) + (a + b)  а + b. Имеем:

b + b  b  a + b + b  a + b (1)

Предположим, что (а + b) + (a + b) = а + b. Подставив в (1), получаем

a + b + b  a + b + a + b  a  a + a.

В силу антисимметричности а = а + а. Это противоречит тому, что элемент а положительный.

5. Если а – положительный элемент линейно и строго упорядоченной полугруппы, то для любого b имеем a + b  b, b + a  b.

Доказательство. Имеем а+ а а  а+ а+ b  а+ b. Если неверно, что a+ b  b, то в силу линейности выполняется a + b = b или b  a+ b. Прибавляя слева а, получаем соответственно а+ а+ b = а+ b или а+ b  а+ а + b. Эти условия противоречат антисимметричности и строгости отношения порядка.

6. Пусть А, +,  – линейно и строго упорядо­ченная полугруппа, аА и а + а  a. Тогда элементы:

а, 2*а, 3*а, ...

все различны. Если при этом система А, +,  – группа, то различны и все элементы:

0, а, –а, 2*а, –2*a, 3*a, –3*а, ...

(под k*a, k N, aA, понимается сумма а+ …+ а, содержащая k слагаемых)

Доказательство. Если a + а  а, то a + а + а  а + а, и т.д. В итоге получаем цепочку …  ka …  4а 3а 2а  а. В силу транзитивности и антисимметричности все элементы в ней различны. В группе цепочку можно продолжить в другую сторону, прибавляя элемент –а.

Следствие. Конечную полугруппу с сокращением, если чис­ло ее элементов не меньше 2, нельзя линейно упорядочить.

7. Пусть А, +,  – линейно упорядоченная группа. Тогда

a  a  b  b.

Доказательство – в качестве упражнения.

Таким образом, всякая линейно упорядоченная группа либо строго, либо нестрого упорядочена. Для обозначения этих порядков будем пользоваться знаками > и  соответственно.