Упражнения

Докажите тождества:

1. 1² + 2² + ... + n² = .

2. 1³ + 2³ + ... + n3 = .

Найдите сумму:

3. .

4. .

5. .

6. 11! + 22! + ... + nn!.

Докажите неравенства:

7. n² < 2n для n > 4.

8. 2ⁿ < n! для n  4.

9. (1 + x)ⁿ  1 + nx, где x > –1.

10. при n > 1.

11. при n > 1.

12. .

13. Найдите ошибку в доказательстве по индукции, что все числа равны между собой. Доказываем равносильное утверждение: в любом множестве из n чисел все числа равны между собой. При n = 1 утверждение верно. Пусть оно верно для n = k, докажем его для n = k + 1. Возьмем множество из произвольных (k + 1) чисел. Удалим из него одно число а. Осталось k чисел, по индуктивному предположению они равны между собой. В частности, равны два числа b и с. Теперь удалим из множества число с и включим а. В получившемся множестве по-прежнему k чисел, значит, они тоже равны между собой. В частности, a = b. Значит, a = b = c, и все (k + 1) числа равны между собой. Индуктивный переход завершен, и утверждение доказано.

14. Докажите усиленный принцип математической индукции:

Пусть A(n) – предикат на множестве натуральных чисел. Пусть А(1) истинен и из истинности A(k) для всех чисел k < m следует истинность A(m). Тогда A(n) истинен для всех n.

2. Упорядоченные алгебраические системы

6.Упорядоченные множества

Напомним основные определения, связанные с отношением порядка.

5. Отношение  («выше») на множестве М называется отношением порядка, или просто порядком, если это отношение транзитивно и антисимметрично. Система М,  при этом называется упорядоченным множеством.

6. Отношение порядка  называется отношением строгого порядка, если оно антирефлексивно, и нестрогого порядка, если рефлексивно.

7. Отношение порядка  называется отношением линейного порядка, если оно связно, то есть a  b  a  b  b  a. Порядок, не являющийся линейным, называется частичным.

8. Пусть М,  – упорядоченное множество, А – подмножество М. Элемент т множества А называется наименьшим, если он меньше всех других элементов множества А, то есть

(хА)(х  т х  т).

9. Пусть М,  – упорядоченное множество, А – подмножество М. Элемент т множества А называется минимальным, если в множестве А нет меньшего элемента, то есть (хА)(х  т т  х).

Аналогично определяются наибольший и максимальный элементы.

Упражнения

1. Докажите, что транзитивное и антирефлексивное отношение является отношением порядка.

2. Докажите, что отношение делимости  на множестве N есть отношение частичного порядка.

3. Докажите, что в множестве может быть не более одного наибольшего и не более одного наименьшего элемента.

4. Найдите все минимальные, максимальные, наибольшие и наименьшие элементы в множестве {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} для отношения делимости.

5. Докажите, что если в множестве есть наименьший элемент, то он является единственным минимальным.

6. Сколькими способами можно определить линей­ный порядок на множестве из трех элементов? линейный и строгий? линейный и нестрогий?

7. Пусть М,  – линейно упорядоченное множество. Докажите, что отношение >, определяемое условием

a > b  a  b  a  b

есть отношение строгого линейного порядка.

8. Пусть М,  – линейно упорядоченное множество. Докажите, что отношение , определяемое условием

a  b  a  b  a = b,

есть отношение нестрогого линейного порядка.

10. Линейно упорядоченное множество М, , в котором каждое непустое подмножество имеет наименьший элемент, называется вполне упорядоченным. Отношение  в этом случае называется отношением полного порядка.

Согласно теореме 1.4.6, система натуральных чисел – вполне упорядоченное множество.

11. Пусть М,  – вполне упорядоченное множество. Интервалом, отделенным элементом а, называется множество Р_а всех элементов, лежащих ниже а и отличных от а, то есть

Р_а = {x  Ma x, x  a}.

В частности, если а – минимальный элемент, то Р_а = .

1. (Принцип трансфинитной индукции). Пусть М,  – вполне упорядоченное множество и А  М. Пусть для каждого элемента а из М из принадлежности к А всех элементов интервала Р_а следует, что а  А. Тогда А = М.

Доказательство.

Пусть А' = М \ А есть теоретико-множест­венная разность множеств М и А. Если А' = , то А = М, и утверждение теоремы выполняется. Если А'  , то, так как М – вполне упорядоченное множество, то множество А' содержит наименьший элемент т. В таком случае, все элементы, предшествующие т и отличные от т, не принадлежат А' и, значит, принадлежат А. Таким образом, Р_m  А. Поэтому по условию теоремы т  А, и, следо­вательно, т  А', в противоречие с предположением.

Пусть А;  – упорядоченное множест­во. Мы будем предполагать, что А – конечное множество. С каж­дым элементом а множества А сопоставим какую-нибудь точку Т (а) данной плоскости так, что если элемент а непосредственно следует за элементом b, то точку Т (a) будем располагать выше точ­ки Т (b) и соединять их отрезком. В результате мы получим граф, отвечающий данному упорядоченному множеству.