5.Исследование аксиом системы натуральных чисел

Как отмечалось в разделе 1.1, важнейшее требование к системе аксиом аксиоматической теории – ее непротиворечивость. Доказательство непротиворечивости осуществляется построением модели теории. Для приведенной аксиоматики можно предложить, например, следующую модель. Числа изображаются последовательностями палочек. Единица изображается одной палочкой. Число, следующее за данным, получается приписыванием к данному числу одной палочки. Ясно, что аксиомы для такой модели выполняются, но строго доказать это невозможно.

Желательное, но необязательное требование к системе аксиом – ее независимость. Это означает, что никакая аксиома не может быть выведена как следствие из других аксиом. Доказать независимость аксиомы от остальных можно построением модели, в которой эта аксиома не выполняется, а остальные выполняются.

1. Система аксиом натуральных чисел, предложенная в разделе 1.1, независима.

Д оказательство. Докажем независимость для каждой аксиомы. Модели будем изображать в виде графов, на которых число, следующее за данным будет обозначаться стрелкой.

Независимость аксиомы (N1). Пусть N = {1, 2, 3}. Операция следования задана на графе. Для этой модели аксиома (N1) не выполняется: у числа 1 есть предшествующее. Аксиома (N2) выполняется: у каждого числа одно предшествующее. Аксиома (N3) выполняется. Если в множество М включить 1 и вместе с каждым числом включить следующее за ним, то в М придется включить и 2, и 3. Значит, получим М = N.

Н езависимость аксиомы (N2). Пусть N = {1, 2, 3, 4}. Операция следования задана на графе. Для этой модели аксиома (N2) не выполняется, так как у числа 2 есть два предшествующих. Остальные аксиомы выполняются.

Н езависимость аксиомы (N3). В качестве модели возьмем два экземпляра обычного натурального ряда, объединив их в одну систему. Тогда аксиомы (N1) и (N2) выполняются. Аксиома (N3) не выполняется, так как в качестве М можно взять первый ряд. Для этого множества посылки аксиомы индукции выполняются, но М  N.

Следующее требование к аксиоматической теории – ее полнота. В узком смысле это означает, что в теории можно доказать или опровергнуть любое утверждение, сформулированное на языке этой теории. Из результатов Гёделя следует, что в этом смысле формальная арифметика в принципе не может быть полной ни при какой аксиоматизации. Поэтому полноту понимают в широком смысле: аксиом достаточно, чтобы можно было доказывать теоремы, имеющие содержательный смысл. Это, конечно, не строгое определение.

При таком толковании понятие полноты близко к понятию категоричности: любые две модели теории должны быть изоморфны. Это значит, что между любыми двумя произвольными моделями можно установить взаимно однозначное соответствие, сохраняющие операции.

2. Теория натуральных чисел, предложенная в разделе 1.1, категорична.

Доказательство. Пусть N₁ и N₂ – две модели теории. Их элементы будем обозначать символами с индексами 1 и 2 соответственно. Установим соответствие f: N₁ N₂ , рекурсивно:

(1) f(1₁) = 1₂;

(2) f(a₁) = f(a₁).

Законность рекурсивных определений уже установлена, значит, f – функция, определенная для всех элементов из N₁. Она сохраняет операции (единица переводится в единицу, операция следования также сохраняется). Остается проверить, что отображение f взаимно однозначное, то есть у каждого элемента из N₂ есть прообраз, причем единственный.

Пусть М – множество элементов из N₂, имеющих единственный прообраз. Согласно (1) 1₂ имеет прообраз 1₁. Если еще f(a₁) = 1₂, где a₁ 1₁, то у a₁ есть предшествующий, a₁ = b₁. Но согласно (2) f(a₁) = f(b₁) = f(b₁)  1₂ по аксиоме (N1). Значит, 1₂М.

Пусть теперь а₂М, и а₁ – единственный прообраз а₂. Тогда f(a₁) = f(а₁) = а₂, то есть у а₂ есть прообраз a₁. Если b₁ – произвольный прообраз для a₂, то b₁  1₁. Значит, b₁= с₁ для некоторого с₁. Тогда a₂ = f(b₁) = f(c₁) = f(c₁), и по аксиоме (N2) a₂ = f(c₁). А так как a₂ имеет единственный прообраз a₁, то с₁= а₁, b₁ = с₁ = а₁. Это означает, что у а₂ есть единственный прообраз, и а₂М. По аксиоме индукции М = N, и теорема доказана.

Из курса математической логики известно, что теория, имеющая счетную модель, имеет и несчетную модель. Казалось бы, что это противоречит категоричности теории натуральных чисел. Но дело в том, что модели, о которых идет речь в логике, являются чисто формальными, соответствующие интерпретации не имеют содержательного смысла. В нашем же случае понятия, сформулированные в рамках теории, имеют совершенно определенный математический смысл. Именно при сохранении этого смысла имеет место категоричность теории.