3.Умножение натуральных чисел

2. Умножением натуральных чисел называется бинарная операция, которая натуральным числам а и b ставит в соответствие число ab (или ab), обладающая свойствами:

(P1) а1 = а для любого а;

(P2) аb' = ab + а для любых а и b.

Относительно определения умножения сохраняют силу все замечания, которые были сделаны в предыдущем пункте по поводу определения сложения. В частности, из него еще неясно, что соответствие с данными в определении свойствами существует. Поэтому большое принципиальное значение имеет следующая теорема, аналогичная теореме 1.2.1.

1. Умножение натуральных чисел существует и притом только одно. Иными словами, умножение всегда выпол­нимо и однозначно.

Доказательство вполне аналогично доказательству теоремы 1.2.1 и предлагается в качестве упражнения.

Легко доказываются свойства умножения, сформулированные в следующих теоремах. Доказательство каждой теоремы опирается на предыдущие.

2. (Правый закон дистрибутивности): (a + b)c = ac + bc.

3. Умножение коммутативно: ab = ba.

4. (Левый закон дистрибутивности): c(a + b) = сa + сb.

5. Умножение ассоциативно: a(bc) = (ab)c.

3. Полукольцом называется система , где + и  – бинарные операции сложения и умножения, удовлетворяющие аксиомам:

1. – коммутативная полугруппа, то есть сложение коммутативно и ассоциативно;

2. – полугруппа, то есть умножение ассоциативно;

3. выполняется правая и левая дистрибутивность.

С алгебраической точки зрения система натуральных чисел относительно сложения и умножения образует полукольцо.

Упражнение. Докажите на основании определения произведения, что 22 = 4, 23 = 6.

4.Отношение порядка на множестве натуральных чисел

4. Отношения , , , , на множестве натуральных чисел определяются следующим образом:

• a > b означает, что существует число k такое, что a = b + k;

• a < b  b > a;

• a  b  a > b  a = b;

• a  b  a < b  a = b.

1. Для любых натуральных чисел а и b имеет место одно и только одно из трех соотношений: a = b, a > b, a < b.

Доказательство. Теорема следует непосредственно из теоремы 1.2.5.

2. Отношения , , ,  являются отношениями линейного порядка. Порядки > и < строгие,  и  – нестрогие.

Доказательство. Отношение является отношением порядка, если оно транзитивно и антисимметрично. Проверяем транзитивность для отношения >:

a > b, b > c  a = b + k, b = c + m  a = (c + m)+ k = c + (m+ k)  a > c.

Из этого следует транзитивность для отношения <.

Для отношения  требуется проверить несколько случаев. Пусть a  b, b  c. Пусть это означает, например, что a > b, b = c. Тогда

a = b + k, b = c  a = с + k  a > c.

Остальные случаи проверяются аналогично или следуют из доказанного выше. Для отношения  транзитивность следует из транзитивности отношения .

Проверим антисимметричность отношения >. Требуется проверить, что имеет место логическое следствие a > b, b > а  a = b. Но согласно теореме 1 посылки этого логического следствия не могут выполняться одновременно. Значит, это логическое следствие не может быть нарушено: не существует примера, в котором обе посылки истинны, а заключение ложно.

Проверим антисимметричность отношения . Требуется теперь проверить, что имеет место логическое следствие a  b, b  а  a = b. Но согласно теореме 1 посылки этого логического следствия могут выполняться одновременно, только если имеет место равенство в обоих случаях. Из этого следует заключение логического следствия.

Антисимметричность отношений < и  следует из доказанного.

Доказано, что рассмотренные отношения являются отношениями порядка. Порядок  называется линейным, если для любых двух различных элементов а и b выполняется а b или b а. Для рассмотренных отношений выполнение этого следует из теоремы 1.

Порядок является строгим, если он антирефлексивен, то есть никакой элемент а не находится в отношении сам с собой. Для отношения > условие a > a не может выполняться в силу теоремы 1, так как выполняется а = а. Это же относится к отношению <. Порядок является нестрогим, если любой элемент находится в отношении сам с собой. Для отношения  (как и ) выполнение а  а следует из определения этого отношения. Теорема доказана.

3. (Законы монотонности отношений порядка относительно сложения и умножения). Если а b, то

1. a + c b + c;

2. ac bc.

Доказательство. Пусть a > b. Тогда a = b + k, и, воспользовавшись коммутативностью и ассоциативностью сложения и умножения и дистрибутивностью, получаем

a + c = (b + k) + c = (b + c) + k  a + c > b + c;

ac = (b + k)c = bc + kc  ac > bc.

Для отношения «<» утверждение следует из доказанного, для «=» из однозначности сложения и умножения. Теорема доказана.

4. (Законы сокращения для сложения и умножения). Из каждого из условий a + c b + c, ac bc следует а b.

Доказательство – в качестве упражнения.

5. Единица – наименьшее натуральное число, то есть а  1 для любого а.

Доказательство – в качестве упражнения.

6. Любое непустое подмножество А множества натуральных чисел содержит наименьший элемент.

Доказательство. Пусть М – множество тех чисел а, которые не превосходят ни одного числа из А. 1М согласно теореме 5. Есть числа, не принадлежащие М. Действительно, если bА, то b b, и bM. Значит, в М должно существовать число а такое, что аM. В противном случае по аксиоме индукции получили бы, что М = N. Число а принадлежит A, так как иначе a < b для всех bA, и a b для всех bA. Это будет означать, что аM. Таким образом, а – искомый наименьший элемент множества А. Теорема доказана.

Теперь можно строго доказать законность рекурсивных определений функций. Структура такого определения следующая. Для функции f(n) от натурального аргумента n первые k значений, то есть при n = 1, … , k, задаются непосредственно. Каждое следующее значение определяется через k предыдущих. Требуется доказать, что таким образом действительно определяется функция, причем единственная. О том, какие здесь имеются логические трудности, сказано в замечании, сделанном после определения операции сложения.

Здесь приводится только идея строгого доказательства. Оно опирается на понятие начального отрезка натурального ряда: отрезок – это множество чисел, не превосходящих n. Функция определяется последовательно для чисел отрезков , , , … , так что функция на каждом следующем отрезке продолжает предыдущую. Для таких отрезков нетрудно доказать по индукции существование и единственность определяемой функции. Затем это определение естественным образом распространяется на весь натуральный ряд.