16.Алгебры с делением конечного ранга

31. Алгеброй с делением над полем Р называется алгебра А, +, , Р, такая что

1. А, +,  – тело;

2. А, +, Р – линейное пространство над полем Р;

3. для любых aP и , A имеет место (а) = (а ) = а ().

Из условия (3), в частности, следует, что если Р – подмножество множества А, то элементы из Р перестановочны с элементами из А.

32. Рангом алгебры с делением А, +, , Р называется размерность соответствующего линейного пространства А, +, Р.

Примеры алгебр с делением конечного ранга над полем действительных чисел – это системы R, C, K. Они имеют ранги соответственно 1, 2, 4. В этом разделе будет показано, что других ассоциативных алгебр с делением конечного ранга над полем R нет. В этом заключается теорема Фробениуса.

1. Пусть А – алгебра ранга n над полем Р. Тогда любой элемент А есть корень многочлена степени не выше n над полем Р.

Доказательство. Элементы 1, , … , ⁿ линейно зависимы над Р. Значит, существует представление а₀ + а₁ + … + а_nⁿ = 0, в котором коэффициенты а₀, а₁, … … , а_nР не все нулевые. Следовательно,  – корень ненулевого многочлена а₀ + а₁х + … + а_nхⁿ над Р.

2. Если  – корень многочлена первой степени над полем Р, то Р.

Доказательство. Пусть  – корень многочлена aх + b. Тогда имеем a + b = 0, где a, b  Р, и  = –а^–1bР.

3. Над полем комплексных чисел не существует других алгебр с делением конечного ранга, кроме самого поля С.

Доказательство. Пусть А – алгебра с делением конечного ранга n над С. Тогда произвольный элемент А есть корень некоторого многочлена f степени не выше n над С. Но многочлены над полем комплексных чисел разлагаются в произведение неприводимых многочленов первой степени. Пусть f = ₁…_k – это разложение. Так как f() = 0, то ₁()…_k() = 0. Так как в теле нет делителей нуля, то один из множителей равен 0. Значит,  – корень многочлена первой степени над полем C, и C. Отсюда А = С.

4. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n над полем действительных чисел R. Тогда любой элемент А есть корень неприводимого над R многочлена первой или второй степени. Его степень вторая тогда и только тогда, когда R. В этом случае существуют действительные числа а и b такие, что (a + b)² = –1.

Доказательство. По теореме 1  есть корень многочлена степени не выше n над полем R. Такой многочлен разлагается в произведение неприводимых многочленов первой или второй степени. Следовательно  – корень одного из них. По теореме 2 если R, то этот многочлен второй степени (обратное следует из теоремы Безу). Значит, для некоторых действительных p, q имеем ² + p + q = 0. Выделив полный квадрат, получим ( + р/2)² = p²/4 – q. Правая часть отрицательна, так как иначе многочлен будет приводим. Разделив обе части равенства на (q – p²/4) и внеся в левой части этот множитель в скобку, получим при соответствующих обозначениях искомое представление (a + b)² = –1.

5. Ассоциативная алгебра А с делением ранга 2 над полем действительных чисел R изоморфна полю комплексных чисел С.

Доказательство. В алгебре А найдется элемент R. Согласно теореме 4 в А найдется элемент a + b такой, что (a + b)² = –1. Обозначим его через . Элементы 1,  линейно независимы, следовательно, образуют базис алгебры А. Всякий элемент из А однозначно выражается через базис, то есть представляется в виде a + b, где a, b  R. Непосредственно проверяется, что соответствие a + b  a + bi устанавливает изоморфизм между алгеброй А и полем комплексных чисел.

6. Если А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n над полем действительных чисел R и линейно независимые элементы ,   А таковы, что ² = ² = –1, то элементы 1, , ,  также линейно независимы.

Доказательство. Если элементы 1, , ,  линейно зависимы, то найдется представление  = a + b + c с действительными a, b, c. Умножив слева на , получим

² = a + b² + c;

– = a – b + c(a + b + c);

(ca – b) + (a+ bс) + (1 + c²) = 0.

В силу линейной независимости элементов 1, ,  все коэффициенты равны 0. В частности, 1 + c² = 0, что невозможно для действительных чисел.

Следствие 6. Над полем действительных чисел не существует ассоциативных алгебр с делением ранга 3.

7. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением ранга n  4 над полем действительных чисел R и ее элементы 1, ,  линейно независимы над R, причем ² = ² = –1. Тогда  +   R, причем  + < 2.

Доказательство. Из условия теоремы следует, что  +   R и  –  R. Тогда из теоремы 4 они являются корнями многочленов второй степени и существуют представления

(1)

с действительными a, b c, d. С другой стороны,

( + )² = ( + )( + ) = ² +  +  + ² = –2 + ( + ); (2)

( – )² = ( – )( – ) = ² –  –  + ² = –2 – ( + ). (3)

Складывая последние равенства, получаем ( + )² + ( – )² = –4. Отсюда сложив равенства (1) и сгруппировав, получим

–4 = (a + c) + (a – c) + b + d.

В силу линейной независимости a + c = a – c = 0, и а = с = 0. Тогда из (1) ( + )² = b R, и из (2)  +  = ( + )² + 2 R.

Утверждение  + < 2 следует из формул (2) и (3), так как правые части в обеих формулах должны быть отрицательны.

8. Ассоциативная алгебра А с делением ранга 4 над полем действительных чисел R изоморфна телу кватернионов K.

Доказательство. Найдем в алгебре А линейно независимые над R элементы 1, ,  такие, что ² = ² = –1. Они существуют согласно теореме 4. Преобразуем их так, чтобы получить элементы i, j из базиса тела кватернионов. Полагаем i = , j = x + y. Действительные коэффициенты  и  подберем так, чтобы выполнялись условия:

(а) элементы 1, i, j линейно независимы над R;

(б) ij + ji = 0;

(в) i² = j² = –1.

Для выполнения (а) достаточно положить у  0. Рассмотрим (б). Из теоремы 7 имеем  +   R. Введем обозначение  +  = 2а, где a< 1. Тогда

ij + ji = (x + y) + (x + y) = 2x² + y( + ) = –2x + 2ay = 2(ay – x).

Значит, для выполнения (б) достаточно положить х = ау.

Обеспечим выполнение (в). Имеем

(x + y)² = (ау + y)² = у²(а + )² = у²(а²² + а( + ) + ²) =

= у²(–а² + 2а² – 1) = у²(а² – 1).

Так как а² – 1 < 0, достаточно взять .

Теперь заключаем согласно теореме 6, что элементы 1, i, j, k = ij линейно независимы, следовательно, образуют базис алгебры А. А так как таблица умножения для этих элементов совпадает с таблицей умножения для базиса тела кватернионов, то алгебра А изоморфна K.

9. Над полем действительных чисел не существует ассоциативных алгебр с делением конечного ранга n  5.

Доказательство. Пусть А – ассоциативная алгебра с делением конечного ранга n  5 над полем R. Рассуждая, как в доказательстве теоремы 8, найдем в ней линейно независимые над R элементы 1, i, j, k = ij, образующие в ней базис тела кватернионов. Так как ранг А больше 4, то в А найдется линейно независимый с ними элемент l, причем можно положить l² = –1. Тогда согласно теореме 7 существуют действительные числа a, b, c такие, что выполняются условия

il + li = a;

jl + lj = b;

kl + lk = c.

Из них получаем

lk = lij = (a – il)j = aj – ilj = aj – i(b – jl) = aj – bi + ijl = aj – bi + kl = aj – bi + c – lk.

Отсюда

2lk = aj – bi + c.

Умножив справа обе части на k, получаем

–2l = ai + bj + ck,

что противоречит линейной независимости элементов 1, i, j, k, l. Теорема доказана.

10. (Фробениус). Над полем действительных чисел существуют ассоциативные алгебры с делением конечного ранга п только при п = 1, 2 или 4. Они изоморфны соответственно полю действительных чисел, полю комплексных чисел и телу кватернионов.

Теорема следует из теорем 5, 6, 8, 9.