Упражнения

2. Докажите теорему 2.

3. Докажите, что произведение суммы квадратов четырех целых чисел на сумму квадратов четырех целых чисел есть сумма квадратов четырех целых чисел.

1. Решите уравнение в кватернионах:

(2 – i + 3j + 2k) x = 1 + 3i + 2j – k.

Решение. Если умножить обе части уравнения слева на кватернион, сопряженный к коэффициенту при х, то получим равносильное уравнение (доказать это). При этом коэффициент при х станет действительным числом, что позволит решить уравнение. Имеем

(2² + 1² + 3² + 2²) х = (2 + i – 3j – 2k) (1 + 3i + 2j – k);

18 x = 2 + 6i + 4j – 2k + i – 3 + 2k + j – 3j + 9k + 6 + 3i – 2k – 6j + 4i – 2;

18 x = 3 + 14i – 4j + 7k;

x = (1/18) (3 + 14i – 4j + 7k).

3. Тело кватернионов существует.

Доказательство. Требуется построить модель тела кватернионов. В качестве такой модели рассмотрим множество квадратных матриц второго порядка над полем комплексных чисел вида

q = .

Множество таких матриц обозначим через K. Оно замкнуто относительно вычитания и умножения, что проверяется непосредственно. Например, для умножения имеем

= =  K.

Следовательно, K образует подкольцо в кольце матриц. Оно является телом, так как содержит единичную матрицу и обратной к матрице q является матрица

^–1 =  K.

Здесь  – определитель матрицы q.

Проверим, что для этого тела K выполняются аксиомы тела кватернионов. Поле, изоморфное полю комплексных чисел С, образует множество матриц вида . Такая матрица соответствует комплексному числу . Нетрудно проверить, что это соответствие действительно является изоморфизмом. При этом действительному числу а соответствует матрица , а мнимой единице i – матрица . Использовав соответствующие обозначения, получаем

i² = = = –1.

Аксиома (K1) проверена.

Проверим аксиому (K2). В качестве j возьмем матрицу . Имеем

j² = = = –1.

При этом j перестановочна с любым действительным числом, так как действительные числа интерпретируются матрицами вида аЕ, перестановочными со всеми матрицами.

Проверим аксиому (K3). Имеем ij = = . В теле кватернионов эта матрица играет роль k. Нетрудно проверить, что k² = –1.

Наконец, проверим аксиому (K4). Для произвольного кватерниона q имеем

q = = + = + =  + j.

Таким образом, построенная алгебра действительно удовлетворяет определению тела кватернионов. Теорема доказана.

При комплексных  = a + bi,  = c + di матрица q = из модели, построенной в доказательстве теоремы, будет изображать кватернион q = a + bi + cj + dk.

4. Теория кватернионов категорична.

В доказательстве используется единственность представления кватерниона в алгебраической форме через мнимые единицы с действительными коэффициенты и категоричность теории действительных чисел.

Упражнения

4. Решите уравнения в теле кватернионов:

а) (1 – 3i + j + 2k) x = 2 + i + 3j – 3k;

б) x (2 – 2i + 3j + k) = 3 + 2i + j – 2k.

4. Докажите, что в теле кватернионов не имеют место формулы

(a + b)² = a² + 2ab + b²;

a² – b² = (a - b)(a + b).

4. Сколько решений в теле кватернионов имеет уравнение х² – 1 = 0?

5. Докажите, что уравнение х² + 1 = 0 имеет в теле кватернионов бесконечно много решений.