15.Кватернионы

Поле комплексных чисел С построено как расширение поля действительных чисел R с помощью элемента i такого, что i² = –1. При этом поле C представляется как линейное пространство над R размерности 2, то есть всякое действительное число однозначно представляется в виде a + bi с действительными а и b. Попробуем аналогично построить новое поле, – расширение поля С с помощью нового элемента j, такого что j² = –1 и j  С. Тогда получим

(i – j)(i + j) = i² + ij – ji – j² = –1 – (–1) = 0.

Но в поле нет делителей нуля, откуда i – j = 0 или i + j = 0. Получаем соответственно j = i или j = –i, и j  C. Противоречие. Значит, такого расширения не существует.

Противоречие возникло оттого, что мы полагали ij = ji. Если же отказаться от этого условия, то полученное противоречие снимается. Но это значит, что мы отказались от коммутативности умножения. Если в определении поля отказаться от коммутативности умножения, то приходим к понятию тела.

28. Телом называется ненулевое кольцо с единицей, в котором каждый ненулевой элемент имеет обратный.

29. Системой кватернионов называется тело K, +, , удовлетворяющее условиям:

(K1) оно включает поле комплексных чисел С, +,  с подполем действительных чисел R, +,  и мнимой единицей i, i² = –1;

(K2) оно содержит новую мнимую единицу j, j² = –1, j  С, причем j перестановочна с любым действительным числом;

(K3) (ij)² = –1;

(K4) всякий элемент из K представляется в виде x + yj, x, yC.

Удобно ввести обозначение ij = k. Получим три основных мнимых единицы i, j, k. Можно найти произведение любой пары этих мнимых единиц. Например,

j i = i²jij²=i(ijij) j =i(ij) ²j= –ij = –k.

Общее правило их перемножения следующее. Располагаем их по окружности, указав положительное направление движения, как показано на рисунке. Произведение любых двух мнимых единиц равно третьей мнимой единице, взятой со знаком «плюс», если перемножаемые единицы идут друг за другом по окружности в положительном направлении. Если же направление отрицательное, то перед третьей мнимой единицей берется знак «минус».

Упражнение 1. Проверьте приведенное правило, найдя произведения нескольких пар мнимых единиц.

1. Любой кватернион q представляется, причем единственным образом, в виде q = a + bi + cj + dk, где a, b, c d  R.

Доказательство. Из условия (K4) q можно представить в виде q= x + yj, x, yC. Взяв представления комплексных чисел x = a + bi, y = c + di, получаем q = (a + bi)+ +(c + di)j = a + bi + cj + dk. Единственность получаем, доказав единственность представления через комплексные числа q = x + yj. Если бы мы имели второе представление q= x₁+ y₁j, то получили (y – y₁)j = x₁ – x, откуда j = (y – y₁)^–1(x₁ – x), и jC.

Умножение кватернионов выполняется обычным образом: раскрываются скобки, мнимые единицы перемножаются согласно приведенному правилу с учетом порядка их следования. Действительные коэффициенты перестановочны с мнимыми единицами.

Деления кватернионов в привычной форме нет. Деление сводится к умножению на обратный кватернион. Но поскольку умножение не коммутативно, следует различать умножение на обратный кватернион слева и справа.

Для нахождения обратного кватерниона и решения уравнений в кватернионах удобно использовать понятие сопряженного кватерниона.

30. Сопряженным к кватерниону q = a + bi + cj + dk называется кватернион q^* = a – bi – cj – dk.

2. Свойства сопряженных кватернионов:

1. Если q = a + bi + cj + dk, то q q^* = a² + b² + c² + d²  R;

2. (q₁ q₂)^* = q₂^* q₁^*;

3. (q₁ q₁^*)  (q₂ q₂^*) = (q₁ q₂)  (q₁ q₂) ^*.

Свойства 1) и 2) доказываются непосредственной проверкой. Для доказательства 3) можно воспользоваться тем, что кватернионы перестановочны с действительными числами.