Упражнения

Вычислите:

2. (1 – i)¹⁹.

3. ( + i)¹⁶ .

4. (– – i)²¹.

5. (–1 + i)²⁰.

6. (– + i)¹⁶.

7. (–1 – i )15.

8. .

9. .

10. .

11. .

12. .

13. .

14. .

15. .

16. .

Комплексные числа геометрически изображаются как точки или векторы на плоскости. При этом геометрический смысл модуля комплексного числа – это длина соответствующего вектора или расстояние от соответствующей точки до нуля. Геометрический смысл модуля разности z – u – это расстояние между точками z и и.

В соответствии с этим можно решать задачи об изображении на комплексной плоскости множества комплексных чисел, задаваемого неким условием. Например, множество чисел z, задаваемых уравнением z= 1, – это единичная окружность. Действительно, исходя из геометрического смысла модуля, мы имеем множество точек, расстояние от которых до нуля равно 1.

Другой способ решения подобных задач – переход к декартовым координатам. Он иллюстрируется на следующем примере.

1. Изобразить множество z комплексных чисел, задаваемых уравнением z = i.

Решение. Записываем z в виде z = x + yi, x, yR. Уравнение тогда приводится к виду

x + yi = (x – yi)i;

x + yi = y + xi.

Д ва комплексных числа равны, когда равны соответственно их действительные и мнимые части. Это дает систему двух уравнений над полем действительных чисел:

или у = х.

Получили уравнение прямой, которую изображаем на комплексной плоскости.

Упражнения

Изобразите на комплексной плоскости множества z комплексных чисел, задаваемых условиями:

17. z 1.

18. z – i= 2.

19. z – i=z + 1.

20. z= z.

21. z= zi.

22. z – 2= 2z + 1.

23. z – i= Re z.

24. z + = .

3. Теория комплексных чисел непротиворечива.

Доказательство. Построим модель теории комплексных чисел. В качестве множества С возьмем множество RR = {(a, b)a, b  R}. Определим на нем операции сложения и умножения. В качестве подсказки будем иметь в виду, что пара (a, b) изображает комплексное число a + bi. Соответственно определяем операции следующим образом:

(a, b) + (c, d) = (a + c, b + d);

(a, b)  (c, d) = (ac – bd, ad + bc).

Проверим для получившейся алгебры аксиомы поля. Ассоциативность сложения:

(a, b) + ((c, d) + (e, f)) = (a, b) + (c + e, d + f) = (a +(c + e), b + (d + f)) =

= ((a + c) + e, (b + d) + f) = (a + c, b + d) + (e, f) = ((a, b) + (c, d)) + (e, f).

Аналогично проверяются ассоциативность умножения, коммутативность, дистрибутивность.

Роль нуля играет пара (0, 0). Действительно,

(a, b) + (0, 0) = (a + 0, b + 0) = (a, b).

Введем обозначение 0 = (0, 0).

Противоположной к паре (a, b) является пара –(a, b) = (–a, –b). Действительно, (a, b) + (–a, –b) = (a – a, b – b) = (0, 0) = 0.

Роль единицы играет пара (1, 0). Действительно,

(a, b)  (1, 0) = (a1 – b0, a0 + b1) = (a, b).

Введем обозначение 1 = (1, 0).

Для нахождения обратной к паре (a, b). Воспользуемся представлением о ней как о комплексном числе a + bi. Мы знаем, что

.

Это дает нам подсказку, что (a, b)^–1 = (a/(a² + b²), –b/(a² + b²)). Непосредственно проверяем, что это действительно так:

(a, b)(a/(a² + b²), –b/(a² + b²)) = ((a² + b²)/(a² + b²), (–ab + ab)/(a² + b²)) = (1, 0) = 1.

При этом пара (a, b)^–1 существует, если a² + b²  0, то есть (a, b)  0.

Аксиома (С1) проверена. Для проверки (С2) действительному числу а поставим в соответствие пару (а) = (а, 0). Получаем взаимно однозначное соответствие  между R и некоторым подмножеством множества С. Проверим, что оно сохраняет операции:

(a) + (b) = (а, 0) + (b, 0) = (а + b, 0) = (a + b);

(a)  (b) = (а, 0)  (b, 0) = (аb + 00, a0 + 0b) = (аb, 0) = (ab).

Следовательно,  – изоморфизм, и мы имеем в С подполе, изоморфное R. Для его элементов введем обозначение (а, 0) = а.

Проверим аксиому (С3). Роль i играет пара i = (0, 1). Действительно,

i²= (0, 1)(0, 1) = (00 – 11, 10 – 01) = (–1, 0) = –1.

Наконец, проверим аксиому (С4). Для этого приведем сначала запись комплексного числа в виде пары к привычному виду:

(a, b) = (a, 0) + (0, b) = (a, 0) + (b, 0)(0, 1) = a + bi.

Пусть теперь М – множество, удовлетворяющее посылкам аксиомы минимальности. Тогда М содержит все числа вида a + bi, следовательно, совпадает с С. Теорема доказана.

Упражнение 24. Постройте модель поля комплексных чисел в кольце матриц второго порядка над R, представив комплексное число a + bi матрицей .

4. Теория комплексных чисел категорична.

Идея доказательства заключается в том, что любые две модели поля С содержат подполе, изоморфное R. Эти подполя изоморфны между собой. Этот изоморфизм продолжается на изоморфизм моделей поля С, так как каждое комплексное число представляется в виде a + bi, где a, b  R.