13.Поле действительных чисел

26. Системой действительных чисел называется линейно и архимедовски упорядоченное поле, всякая фундаментальная последовательность элементов которого сходится.

В соответствии с этим определением имеем следующее аксиоматическое построение, которое даем в компактном виде. Система действительных чисел – это алгебра R, +, , 0, 1, >, удовлетворяющая следующим аксиомам, разбитым на три группы:

I. Аксиомы поля:

(R1) R, +, , 0, 1 – поле.

II. Аксиомы порядка:

(R2) R, > – строго и линейно упорядоченное множество;

(R3) a > b  a + c > b + c;

(R4) a > b, c > 0  a  c > b  c;

(R5) a > 0, b > 0  (nN) n * a > b.

III. Аксиома непрерывности:

(R6) Всякая фундаментальная последовательность элементов R сходится.

Заметим, что в определении поля действительных чисел отсутствует условие минимальности, оно является в данном случае излишним.

Так как всякое линейно упорядоченное поле содержит подполе рациональных чисел, то поле действительных чисел есть расширение поля рациональных чисел.

1. Всякое действительное число есть предел последовательности рациональных чисел.

Доказательство. Всякое действительное число r есть предел стационарной последовательности (r, … , r). Согласно теореме 4.1.3 существует эквивалентная ей последовательность рациональных чисел, что доказывает теорему.

В предыдущем разделе изложены начала теории последовательностей в нормированных полях. Эта теория позволяет строго доказать основные свойства системы действительных чисел, которые мы здесь опускаем. В частности, можно доказать, что для любого положительного действительного  и натурального п существует единственное положительное действительное число  такое, что ^п = . Используя этот результат, можно доказать следующее утверждение.

2. Поле R, +, , 0, 1 можно линейно и строго упорядочить единственным способом.

Доказательство. Пусть R⁺ и R⁺⁺ – положительные части поля R. Пусть R⁺. Существует действительное  такое, что ² = . Тогда   0, и по свойствам положительных элементов ²R⁺⁺. Значит, R⁺⁺. Отсюда R⁺  R⁺⁺ и по теореме 2.3.7 R⁺ = R⁺⁺.

3. Теория действительных чисел непротиворечива.

Идея доказательства этой теоремы заключается в построении модели действительных чисел, построенной с помощью системы рациональных чисел. Рассматриваются всевозможные фундаментальные последовательности рациональных чисел. Под действительным числом понимается класс эквивалентных фундаментальных последовательностей. Проверяются все аксиомы теории действительных чисел.

5. Алгебры с делением над полем действительных чисел

14.Комплексные числа

27. Системой комплексных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением поля действительных чисел и содержащее элемент i такой, что i² + 1 = 0.

В соответствии с этим определением дадим аксиоматическое определение в компактной форме.

Система комплексных чисел – это алгебра C, +, , i, R, удовлетворяющая следующим аксиомам:

(С1) C, +,  – поле;

(С2) R, +,  – поле действительных чисел; поле C, +,  – его расширение;

(С3) iC; i² + 1 = 0;

(С4) любое подмножество М множества С совпадает с С, если iМ, RМ и М замкнуто относительно сложения и умножения (аксиома минимальности).

Замечание. Строго говоря, операции в R и С следует обозначать разными символами. Подробную систему аксиом можно построить аналогично тому, как это сделано для теорий целых и рациональных чисел.

1. Всякое комплексное число  можно представить, причем единственным образом, в виде  = a + bi, где a, b  R.

Доказательство. Множество М = {a + bi a, b  R} удовлетворяет посылкам аксиомы минимальности, значит, М = С и существование представления  = a + bi доказано. Если для некоторого  существуют два представления  = a + bi = a₁+ b₁i, то a – a₁ = (b₁ – b)i. Если b₁ = b, то a = a₁ и указанные представления совпадают. Если же b₁  b, то i = (b₁ – b)/(a – a₁)R, что невозможно. Теорема доказана.

В равенстве  = a + bi член а называется действительной частью числа  и обозначается Re , а b – это коэффициент при мнимой части, Im .

2. Поле комплексных чисел нельзя линейно упорядочить.

Доказательство. Известно, что в упорядоченном поле квадрат любого ненулевого элемента положителен. Но в поле С i² = –1 < 0. Значит, поле С упорядочить нельзя.

Упражнение 1. Докажите, что поле комплексных чисел можно нетривиально нормировать относительно поля действительных чисел.

Из курса алгебры известно важнейшее свойство поля комплексных чисел – его алгебраическая замкнутость. Это значит, что всякий многочлен положительной степени над С имеет корень в С. Отсюда следует, что число комплексных корней многочлена п-ой степени равно п (с учетом их кратности), и над С существуют неприводимые многочлены только первой степени. Имеем также важные следствия, относящиеся к полю действительных чисел: над R существуют неприводимые многочлены только первой или второй степени, и мнимые корни многочлена с действительными коэффициентами разбиваются на пары комплексных сопряженных.

Из курса алгебры также известны приемы выполнения операций с комплексными числами. Для возведения в степень и извлечения корня из комплексного числа его удобно привести к тригонометрической форме:

z = r (cos  + i sin ).

Соответствующие параметры находятся по формулам:

r = ;

Для числа z = r (cos  + i sin ), записанного в тригонометрической форме, имеют место следующие формулы:

zⁿ = rⁿ (cos n + i sin n) (формула Муавра);

, k = 0, 1, ... , n – 1.