Упражнения

4. Докажите, что любое поле, включающее кольцо целых чисел, включает и поле рациональных чисел.

5. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное поле изоморфно полю рациональных чисел.

4. Действительные числа

12.Последовательности в нормированных полях

20. Нормированным полем называется тройка А, Р, , где А – поле, Р – линейно упорядоченное поле,  – отображение А в Р, называемое нормой, удовлетворяющее условиям:

1. (а)  0; (а) = 0  а = 0;

2. (ab) = (а)(b);

3. (a + b)  (а) + (b).

1. Тривиальная норма: (0) = 0; (а) = 1 при а  0.

2. Естественная норма. А – линейно упорядоченное поле, Р = А, (а) = а.

3. p-адическая норма в поле рациональных чисел. Фиксируем простое число р и рациональное 0 <  < 1. Для произвольного рационального числа  существует единственное представление вида  = pⁿ , где n – целое, а и b взаимно просты с р. Полагаем по определению () =  ⁿ, (0) = 0.

Упражнение 1. Докажите, что нормы, определенные в примерах 1, 2, 3, действительно удовлетворяют определению нормы.

1. Если А, Р,  – нормированное поле, то

1. (1) = 1;

2. (–1) = 1;

3. (а) = (–а);

4. (1/а) = 1/(а);

5. (b/а) = (b)/(а);

6. (а) – (b) (а – b)  (а) + (b);

7. (а)  (b) – (b – a).

Доказательство. 1. Имеем (1)(1) = (11) = (1), откуда (1) = 1 или (1) = 0. Но второе исключено.

2. Имеем (–1)( –1) = (1), откуда (–1) = 1 или (–1) = –1. Но второе также исключено.

5. Следует из того, что (а)(b/а) = (b).

6. Имеем (а)  (а – b) + (b), откуда (а) – (b)  (а – b). Тогда (b) – (а)   (а – b), и (а) – (b) (а – b).

Остальные утверждения очевидны или доказываются аналогично.

21. Пусть А, Р,  – нормированное поле. Последовательность (a_n) называется ограниченной по норме , если

(с P⁺)(nN) (a_n) < c.

22. Пусть А, Р,  – нормированное поле. Последовательность (a_n) называется фундаментальной по норме , если

(P⁺)(n₁ N)(n,k N) (n  n₁  k  n₁  (a_k – a_n) < ).

23. Пусть А, Р,  – нормированное поле. Последовательность (a_n) называется сходящейся к элементу а поля А по норме , если

(P⁺)(n₁ N)(n N) (n  n₁  (a_n – a) < ).

При этом элемент а называют пределом последовательности (a_n). Последовательность, сходящаяся к 0, называется нулевой.

24. Пусть А, Р,  – нормированное поле. Последовательности (a_n) и (b_n) называются эквивалентными по норме , если последовательность (a_n – b_n) нулевая по норме .

Нетрудно заметить, что это определение корректно, то есть введенное отношение между последовательностями действительно является отношением эквивалентности. Рефлексивность и симметричность проверяются тривиально. Транзитивность следует из того, что

(a_n – c_n) = ((a_n – b_n) + (b_n – c_n))  (a_n – b_n) + (b_n – c_n).

25. Последовательность, все элементы которой равны друг другу, называется стационарной.

В приведенных определениях оборот «по норме » можно опускать, если речь идет о естественной норме, то есть абсолютной величине.

Приведенные определения можно обобщить. В поле Р выделяется некоторое подполе Р₁. Определения ограниченной, фундаментальной, сходящейся, эквивалентных последовательностей по норме  относительно подполя Р₁ получаются, если в приведенных определениях заменить Р⁺ на Р₁⁺.

2. Пусть А, Р,  – нормированное поле, Р₁ – подполе поля Р. Если поле Р архимедовски упорядочено, то определения ограниченной, фундаментальной, сходящейся, эквивалентных последовательностей по норме  относительно подполя Р₁ эквивалентны соответствующим определениям безотносительно к подполю Р₁.

Доказательство. В определении ограниченной последовательности из существования элемента с в поле Р вытекает существование подходящего элемента в подполе Р₁. Действительно, возьмем произвольный положительный элемент а  Р₁. Из архимедовости поля Р следует, что существует такое натуральное п, что na > c. Этот элемент па Р₁ можно взять вместо с.

В остальных определениях условия, относящиеся к произвольным P₁⁺, требуется распространить на все P⁺. Для этого достаточно показать, что для любого P⁺ найдется ₁P₁⁺ такой, что ₁< . Тогда если неравенства, указанных в определениях, выполняются для ₁, то они будут выполняться и для . Итак, пусть задано P⁺. Возьмем произвольный ₂P₁⁺. Существует такое натуральное п, что n > ₂. Тогда  > n^–1₂, и можно взять ₁ = n^–1₂.

Если поле Р не является архимедовски упорядоченным, то определения ограниченной, фундаментальной, сходящейся, эквивалентных последовательностей по норме  относительно подполя Р₁ могут существенно отличаться от соответствующих определений безотносительно к подполю Р₁.

4. Рассмотрим поле рациональных функций Q(x) с неархимедовским линейным порядком, введенным в примере 2.3.3. Нормирование выберем естественное. Рассмотрим последовательности рациональных чисел (п) и .

Последовательность (п) неограниченно возрастает относительно поля Q, но ограничена в поле Q(x). Действительно, n < x для всех п, так как п – х = < 0 согласно определению порядка, данному в этом примере.

Последовательность сходится к нулю относительно поля Q, но не сходится к нулю относительно поля Q(x). Действительно,

для всех п.

Последовательность является фундаментальной относительно поля Q, но не является фундаментальной относительно поля Q(x). Действительно,

для всех п, k.

Наконец, последовательность не эквивалентна стационарной последовательности (0)_п в поле Q(x).

Упражнения. В условиях примера 4 рассмотрим последовательности  = (a_n);  = (b_n);  = (b_n);  = (c_n);  = (d_n) с общими членами вида:

a_n = 0; b_n = 1/n; c_n = x + 1/n; d_n = 1 – 1/n.

Докажите, что:

2. Каждая из этих последовательностей фундаментальна относительно поля Q.

3. Последовательности , ,  ограничены относительно поля Q, последовательности ,  не ограничены относительно поля Q.

4. Последовательность  относительно поля Q сходится к любому элементу поля Q(х) вида r/x, где rQ.

5. Последовательность с общим членом b_nc_n не является фундаментальной относительно поля Q.

6. Последовательности  и  сходятся относительно поля Q, но последовательность с общим членом b_nc_n не сходится относительно поля Q.

7. Последовательности  и  эквивалентны относительно поля Q, но последовательности с общими членами а_nc_n и b_nc_n не эквивалентны относительно поля Q.

8. Последовательность  сходится к 1 относительно поля Q, ее каждый член меньше 1 – 1/х, но 1 > 1 – 1/х.

9. Последовательность  сходится к 1/x относительно поля Q, но последовательность с общим членом 1/b_n не сходится к х относительно поля Q.

Пример 4 и упражнения 1 – 8 показывают, что последовательности в нормированных полях могут обладать различными неожиданными свойствами. В то же время имеют место и обычные свойства, известные из курса математического анализа. В частности, сходящаяся последовательность является фундаментальной. Сумма фундаментальных последовательностей есть фундаментальная последовательность. Произведение нулевой и ограниченной последовательности есть нулевая последовательность (складываются и перемножаются соответствующие члены последовательностей). Отношение эквивалентности монотонно относительно сложения и умножения на ограниченные последовательности. Эти утверждения верны и в том случае, если все понятия рассматриваются относительно подполя Р₁ упорядоченного поля Р, по которому строится норма.

В то же время поле Р нельзя заменить на подполе Р₁ в следующих свойствах. Сходящаяся последовательность имеет не более одного предела. Фундаментальная последовательность ограничена. Если две последовательности эквивалентны, то одна из них ограничена тогда и только тогда, когда ограничена другая. Произведение фундаментальных последовательностей есть фундаментальная последовательность. Если две последовательности сходятся к а и b соответственно, то их произведение сходится к ab.

Если же норма строится с помощью линейно и архимедовски упорядоченного поля Р, то имеют место привычные свойства. Для примера приведем следующую теорему, в доказательстве которой эти свойства используются.

3. Пусть А₁ – подполе линейно и архимедовски упорядоченного поля А. Для любой последовательности (a_n) элементов поля А существует эквивалентная ей последовательность элементов поля А₁.

Доказательство. Всякое линейно упорядоченное поле есть расширение поля рациональных чисел. Поэтому теорему достаточно доказать для случая, когда А₁ есть поле рациональных чисел.

Последовательность сходится к нулю. Значит, последовательности (a_n) и (a_n + 1/n) эквивалентны. По теореме 3.3.6 для каждого п можно найти рациональное b_n такое, что a_n < b_n< a_n + 1/n. Тогда последовательность (b_n) эквивалентна (a_n), и теорема доказана.