Упражнения

1. Докажите, что поле рациональных чисел плотно, то есть для любых рациональных чисел a < b найдется рациональное r такое, что a < r < b.

2. Докажите, что уравнение х² = 2 не имеет решений в Q.

3. Докажите, что множество Q счетно.

3. Аксиоматическая теория рациональных чисел непроти­воречива.

Доказательство. Непротиворечивость аксиоматической теории рациональных чисел доказывается так же, как для целых чисел. Для этого строится модель, на которой выполняются все аксиомы теории.

В качестве основы берем множество

ZZ^* = {(a, b)a, bZ, b  0}.

Элементами этого множества являются пары (a, b) целых чисел. Под такой парой мы будем понимать частное целых чисел a/b. В соответствии с этим задаем свойства пар.

Введем на множестве ZZ^* отношение равенства:

(a, b) = (c, d)  ad = bc.

Замечаем, что оно является отношением эквивалентности и имеет право называться равенством. Фактор-множество множества ZZ^* по этому отношению равенства обозначим через Q. Его элементы и будем называть рациональными числами. Класс, содержащий пару (a, b), обозначим через [a, b].

Введем в построенном множестве Q операции сложения и умножения. Нам поможет это сделать представление об элементе [a, b] как о частном a / b. В соответствии с этим полагаем по определению:

[a, b] + [c, d] = [ad+bc, bd];

[a, b]  [c, d] = [ac, bd].

Проверяем корректность определений этих операций, а именно, что результаты не зависят от выбора элементов a и b, определяющих пару [a, b]. Это делается так же, как при доказательстве теоремы 3.2.1.

Далее проверяем, что получившаяся алгебра является полем, то есть аксиомы (Q1) – (Q9). Общие аксиомы проверяются как в теореме 3.2.1.

Роль нуля играет пара [0, 1]. Обозначим ее через 0. Действительно,

[a, b] + 0 = [a, b] + [0, 1] = [a1+0b, b1] = [a, b].

Противоположной к [a, b] является пара –[a, b] = [–a, b]. Действительно,

[a, b] + [–a, b]= [ab – ab, bb] = [0, b²] = 0.

Единицей является пара [1, 1] = 1. Обратная к паре [a, b] – пара [b, a].

Теперь проверим аксиомы расширения. Установим соответствие f: Z  Q по правилу

f(n) = [n, 1].

Проверяем, что это взаимно однозначное соответствие между Z и некоторым подмножеством Q, которое обозначим через Z ^*. Проверяем далее, что оно сохраняет операции, значит, устанавливает изоморфизм между Z и подкольцом Z ^* в Q. Значит, проверены аксиомы расширения.

Обозначим пару [n, 1] из Z^*, соответствующую натуральному числу n, через n. Тогда для произвольной пары [a, b] имеем

[a, b] = [a, 1]  [1, b] = [a, 1] / [b, 1] = a / b.

Тем самым обосновано представление о паре [a, b] как о частном целых чисел. Одновременно установлено, что каждый элемент из построенного множества Q представляется в виде частного двух целых. Это поможет проверить аксиому минимальности. Проверка производится, как в теореме 3.2.1.

Таким образом, для построенной системы Q выполняются все аксиомы теории целых чисел, то есть мы построили модель этой теории. Теорема доказана.

4. Аксиоматическая теория рациональных чисел катего­рична.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.2.2.

5. Архимедовски упорядоченное поле является расширением поля рациональных чисел.

Доказательство – в качестве упражнения.

6. Пусть F – архимедовски упорядоченное поле, a > b, где a, bF. Существует рациональное число F такое, что a > > b.

Доказательство. Пусть a > b  0. Тогда a – b > 0, и (a – b)^–1 > 0. Существует натуральное т такое, что m1 > (a – b)^–1, откуда m^–1 < a – b  а. Далее, существует натуральное k такое, что km^–1  a. Пусть k – наименьшее число, для которого выполняется это неравенство. Так как k > 1, то можно положить k = n + 1, n  N. При этом (n + 1)m^–1  a, nm^–1 < a. Если nm^–1  b, то a = b + (a – b) > b + m^–1 nm^–1 + m^–1 = = (n + 1)m^–1. Противоречие. Значит, a > nm^–1 > b.