Упражнения

1. Докажите, что любое кольцо, включающее систему натуральных чисел, включает и кольцо целых чисел.

2. Докажите, что всякое минимальное упорядоченное коммутативное кольцо с единицей изоморфно кольцу целых чисел.

3. Докажите, что всякое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит и только одно подкольцо, изоморфное кольцу целых чисел.

4. Докажите, что кольцо матриц второго порядка над полем действительных чисел содержит бесконечно много подколец, изо­морфных кольцу целых чисел.

11.Поле рациональных чисел

Определение и построение системы рациональных чисел проводятся аналогично тому, как это сделано для системы целых чисел.

19. Системой рациональных чисел называется минимальное поле, являющееся расширением кольца целых чисел.

В соответствии с этим определением получаем следующее аксиоматическое построение системы рациональных чисел.

Первичные термины:

Q – множество рациональных чисел;

0, 1 – константы;

+,  – бинарные операции на Q;

Z – подмножество Q, множество целых чисел;

,  – бинарные операции на Z.

Аксиомы:

I. Аксиомы поля.

(Q1) a + (b + c) = (a + b) + c.

(Q2) a + b = b + a.

(Q3) (a) a + 0 = a.

(Q4) (a)((–a)) a + (–a) = 0.

(Q5) a  (b  c) = (a  b)  c.

(Q6) a  b = b  a.

(Q7) а  1 = а.

(Q8) (a  0)(a ^–1) a  a ^–1 = 1.

(Q9) (a + b)  c = a  c + b  c.

II. Аксиомы расширения.

(Q10) Z, , , 0, 1 –кольцо натуральных чисел.

(Q11) Z  Q.

(Q12) (a,bZ) a + b = a  b.

(Q13) (a,bZ) a  b = a  b.

III. Аксиома минимальности.

(Q14) MQ, ZM, (a, bM)(b  0  a  b ^–1M)  M = Q.

Число a  b ^–1 называется частным чисел а и b, обозначается a/b или .

1. Всякое рациональное число представляется в виде частного двух целых чисел.

Доказательство. Пусть М – множество рациональных чисел, представимых в виде частного двух целых. Если n – целое, то n = n/1 принадлежит М, следовательно, Z  M. Если a, bM, то a = k / l, b = m / n, где k, l, m, n Z. Следовательно, a / b = = (kn) / (lm)M. По аксиоме (Q14) M = Q, и теорема доказана.

2. Поле рациональных чисел можно линейно и строго упо­рядочить, причем единственным способом. Порядок в поле рациональных чисел архимедов и продолжает порядок в кольце целых чисел.

Доказательство. Обозначим через Q⁺ множество чисел, представимых в виде дроби , где kl > 0. Нетрудно заметить, что это условие не зависит от вида дроби, представляющей число.

Проверим, что Q⁺ – положи­тельная часть поля Q. Так как для целого числа kl возможны три случая: kl = 0, klN, –kl N, то для  = получаем одну из трех возможностей:  = 0, Q⁺, –Q⁺. Далее, если  = ,  = принадлежат Q⁺, то kl > 0, mn > 0. Тогда  +  = , причем (kn + ml)ln = kln² + mnl² > 0. Значит,  + Q⁺. Аналогично проверяется, что Q⁺. Таким образом, Q⁺ – положительная часть поля Q.

Пусть Q⁺⁺ – какая-нибудь положительная часть этого поля. Имеем

l =.l²Q⁺⁺.

Отсюда N  Q⁺⁺. По теореме 2.3.4 числа, обратные к натуральным, также принадлежат Q⁺⁺. Тогда Q⁺ Q⁺⁺. В силу теоремы 2.3.6 Q⁺= Q⁺⁺. Поэтому совпадают и порядки, определенные положительными частями Q⁺и Q⁺⁺.

Так как Z⁺ = N  Q⁺, то порядок в Q продолжает порядок в Z.

Пусть теперь  = > 0,  = > 0. Так как порядок в кольце целых чисел архимедов, то для положительных kn и ml найдется натуральное с такое, что сkn > ml. Отсюда с = с > = . Значит, порядок в поле рациональных чисел архимедов.